Somme de permutation

[yous]

Bonjour , voici l'enoncé de mon problème: On nomme J(de p a k ) le nombre de permutations de p éléments laissant exactement k éléments invariants
1) calculer la somme de k=o a p de J(de p a K)
2)Montrer que pour tout couple (n,k) avec J(de p a k)=(k parmis p )J(de p-k à 0)
3) Montrer que la somme de k=0 a p de (k parmis p)J(k=0 a p)=p!

J'ai compris se que représenté la permutation mais aprés j'ai vraiment beaucoup de mal
Merci de votre aide

[yous]

Personne ne peut m'aider ?

[Joker62]

Haileau ;)

Pour la 1), tu peux essayer de considérer une relation d'équivalence entre deux permutations afin de trouver une partition de S_p et qui te permettra de faire le lien avec la formule voulue.

Pour la 2), je vois pas de n dans la formule donc tu t'es certainement planté mais sinon ça doit se faire par récurrence évidemment

Le 3) est une conséquence de la formule trouvé précédemment.

[yos]

1) calculer la somme de k=o a p de J(de p a K)

Une permutation laisse fixe soit 0, soit 1, ..., soit p éléments. Donc que représente ?

2)Montrer que pour tout couple (n,k) avec J(de p a k)=(k parmis p )J(de p-k à 0)

Déranger k éléments exactement, c'est en laisser fixe p-k exactement. Ensuite il faut choisir ceux qu'on dérange (ou ceux qu'on fixe) parmi les p.
Sinon c'est quoi ce n?

3) Montrer que la somme de k=0 a p de (k parmis p)J(k=0 a p)=p!

T'es sûr de ta question?

[yous]

Pour la question 1) je suis désolé mais je vois vraiment pas
Pour la question 2) je m'excuse il s'agit d'un p
Et sinon pour la question 3) c'est bien ça

[yos]

Pour la question 1) je suis désolé mais je vois vraiment pas

Il suffit de compter toutes les permutations de deux façons différentes.

Et sinon pour la question 3) c'est bien ça

C'est plutôt .

[yous]

Je ne voit ce que vous voulez dire par le fait de compter de 2 maniere differents les permutations ?

[yos]

Ecris toutes les permutations de quatre éléments 1,2,3,4. Range les selon le nombre de leurs points fixes. Que valent ? Que vaut leur somme?

[yous]

Je les fait n=3
(1,2,3) (1,3,2) ( 2,3,1) (3,2,1) ( 2,3,1) (3,1,2)
J(3 à O) =1 J(3 à 1) = 4 J(3 a 2)=0 et J(3à 3)=1
Donc la somme est égale à 6

[yous]

C'est ça ?

[yous]

la somme serait égale a p! ?

[Joker62]

T'as écris deux fois la même permutation

(123) => Laisse fixe 3 éléments
(132) => Laisse fixe 1 élément
(213) => Laisse fixe 1 élément
(231) => Laisse fixe 0 élément
(312) => Laisse fixe 0 élément
(321) => Laisse fixe 1 élément

J(3,0) = 2
J(3,1) = 3
J(3,2) = 0
J(3,3) = 1

D'où la somme qui vaut 6 :^)

[yous]

ah oui merci

[yos]

la somme serait égale a p! ?

yes yous.

yos.

[Joker62]

ça fait beaucoup de y et de s tout ça :)

[yous]

merci beaucoup

[yous]

Sinon je ne voit pas comment faire pour la question 2)

[yos]

Même idée : par exemple pour , tu vas compter :
- les permutations qui fixent 1 et 2 (et uniquement 1 et 2);
- les permutations qui fixent 1 et 3 (et uniquement 1 et 3);
...
- les permutations qui fixent 4 et 5 (et uniquement 4 et 5).

Dans chacune des catégories ci-dessus combien y-a-t-il d'éléments?
Dans la première catégorie, on oublie 1 et 2 (qui sont fixés) et on se concentre sur 3,4 et 5, qui, eux, sont dérangés (permutés sans point fixe). La réponse est donc .
C'est évidemment pareil pour les autres catégories.
Reste à multiplier par le nombre de catégories. Facile à trouver.

[yous]

Il n'y a pas possibilité de raissonné par récurrence ?

[yos]

Récurrence? A mon avis , c'est hors de propos. J'ai bien vu que Joker proposait cela, mais il a peut-être lu un peu vite la question. Je dis pas que c'est impossible, mais tu vas t'emm..der grave.