Somme des chiffres de 7777777^7777777

[mathelot]

re-bonjour,

somme des chiffres de l'entier naturel:






?

[miikou]

on dit bonjour , s'il vous plait ?

[Nightmare]

Salut,

Réitère-t-on la sommation des chiffres sur le résultat obtenu lors du premier calcul etc. ?

[mathelot]

Salut,

Réitère-t-on la sommation des chiffres sur le résultat obtenu lors du premier calcul etc. ?

salut NightMare,

a-priori non. c'est un entier. on demande juste la somme de ses chiffres.

c'est un exercice qui a été posé, on peut espérer que des gens savent faire...
:mur:

[Nightmare]

Alors je ne sais pas trop... Par programme informatique ça se trouve, mais sinon je ne vois pas trop comment ça se calcule ce genre de chose.

[mathelot]

N=

N possède exactement 53 595 538 chiffres et se termine par 7.

Il équivaut de déterminer la somme des chiffres de N-1 (ou de N-7) :mur:

[Ericovitchi]

Les derniers chiffres sont ...1995347697 dit Wolfram
et les premiers
2.080865081154543346321479333937747599660926033516... x 10^53595537

Mais trouver leur somme ??????

[buzard]

mathematica donne la réponse en 80 seconde, personnellement je pense pas faire mieux, enfin peut etre à la lecture du résultat (et encore!)

[Ericovitchi]

Et c'est combien ?

[buzard]

Je laisse les esprits affutés du forum trouver une méthode intelligente, c'est plus intéressant que le résultat du calcul brut.
Il n'y a que quatre facteurs premiers (2.2.7.p) ça peut peut être aidé pour trouver une méthode mais j'en doute.

[busard_des_roseaux]

@buzard

peux-tu donner le résultat de mathematica ?

[buzard]

bon comme y'en a qui insiste, il me donne 241145716 (p=8612347)

mais je cherche encore une méthode astucieuse, pour l'instant même en factorisant N-1 j'arrive pas loin. à la main ça reste compliqué.

@mathelot
t'as pas d'autre indice stp

[nodjim]

Juste une approximation:
Le nombre comporte environ: 7*7777777 chiffres, plus même, dont on peut estimer la valeur moyenne de chacun d'eux à 4.5 (et non 5) ce qui donne 244 999 975.
C'est drôle, j'ai donné une valeur plutôt basse du nombre de chiffres, et le résultat de l'approximation basse est supérieur à la réalité (écart >1%) ! Pourtant, j'aurais parié qu'un nombre premier avec 10 et multiplié un grand nombre de fois par lui même aurait fourni un nombre avec une répartition égalitaire de chaque chiffre. Or les chiffres < 5 semblent plus fréquents. C'est une enigme.

[mathelot]

en "preuve par 9" (modulo 9), la somme de ses chiffres est congrue à N, donc de la forme 4+9k.

pour l'instant , je cherche à récurrer le critère de divisibilité par 7:

soit écrit base 10.

7/K ssi est divisible par 7

or, N se termine par 7 et est divisible par

d'autre part, effectivement N et N-1 ont leurs sommes de chiffres qui diffèrent de 1 (car N ne termine pas par zéro)

[mathelot]

L'entier N est sans doute équiréparti. effet, la somme
de chiffres de N vaut 241 145 716. Divisée par son nombre exact de chiffres,
ça donne 4,499..


question:

sait-on résoudre les systèmes 3x3 avec des congruences différentes
style

[Lostounet]

Juste une approximation:
Le nombre comporte environ: 7*7777777 chiffres, plus même, dont on peut estimer la valeur moyenne de chacun d'eux à 4.5 (et non 5) ce qui donne 244 999 975.
C'est drôle, j'ai donné une valeur plutôt basse du nombre de chiffres, et le résultat de l'approximation basse est supérieur à la réalité (écart >1%) ! Pourtant, j'aurais parié qu'un nombre premier avec 10 et multiplié un grand nombre de fois par lui même aurait fourni un nombre avec une répartition égalitaire de chaque chiffre. Or les chiffres < 5 semblent plus fréquents. C'est une enigme.

Bonsoir,
Si je puis me permettre d'intervenir dans ce topic, même avec le peu de connaissances que j'ai.

Le post de nodjim m'a inspiré à faire ce petit travail:

Le symbole @ introduit la somme des chiffres du résultat:

@ 61 (avec 14 chiffres)
@ 91 (avec 21 chiffres)
@ 122
(avec 28 chiffres)


Donc le nombre de chiffres de (Je n'aurais pas pu le concevoir sans mes petites expériences) vaut 7 * 7 777 777.

Faisons la 'moyenne des chiffres', prenons le premier cas:
61/14 = 4,3571428...
Prenons le deuxième cas:
91/21 = 4,333...
Prenons le troisième cas:
122/28 = 4,3571428...

Si l'on continuait de la sorte, on pourrait peut-être dégager plus de rapports..?

Donc pour 7(7 777 777) chiffres, avec chacun valant à peu près 4,33.. (ou 4,357..) on pourra trouver une approximation:


.. qui est quand même proche de 241 145 716 ?

Soit travailler avec la moitié de 7 777 777 * 7 avec 4,333.. et l'autre moitié avec 4,35..

Je ne sais pas si cette méthode peut aboutir.

Merci de votre lecture.

[nodjim]

Je corrige mon propos initial, et je donne quelque chose de beaucoup plus précis:
Nombre de chiffres: 7777777(ln7777777)/ln10=53 595 537 à valeur moyenne de 4.5 donne une somme de 241 179 920. environ.
Ce qui rétablit la vraisemblance du résultat, avec une erreur relative de 1,4 dix millième.

[mathelot]

soit K un entier

son nombre exact de chiffres est donné par la formule


où [.] est la partie entière et Ln() le logarithme népérien

[nodjim]

soit K un entier

son nombre exact de chiffres est donné par la formule


où [.] est la partie entière et Ln() le logarithme népérien

Ben oui, j'ai écrit autre chose ????

[busard_des_roseaux]

quelqu'un trouve ?

est-ce que l'on pourrait réduire le développement décimal
de selon différentes congruences ??