Sinx/x de classe C3

[sarah79]

voici l'énoncé :

soit f(x)= sinx/x quand x différent de 0
= 1 si x=0

montrer qu'elle est de classe C3.


dans un premier temps jai montré que f est continu sur R.
Après jai mi que (f(x)-f(0))/(x-0)= (sinx-x)/x²=0=f'(0)
donc f dérivable en 0 et f'(0)=0

J'ai dit que la fonction f est de classe C1 sur R* et que f'(x)=(xcosx-sinx)/x²
lim f'(x)=0= f'(0) quand x tend vers 0.
donc f de classe C1 sur R.

je bloque après??
Quelqu'un peut-il m'aider?

[Nightmare]

Salut!

Eh bien tu fais la même chose avec la dérivée, puis encore une fois.

Pour simplifier les calculs de limites, utiliser les DL n'est pas une mauvaise idée, surtout qu'on sait qu'une fonction qui admet un DL à l'ordre 1 est dérivable !

[girdav]

Bonjour,
je ne sais pas s'il y a plus simple mais je crains qu'il ne faille encore dériver , puis calculer , etc...

[Nightmare]

Je propose cette autre méthode généralisable :

Il suffit de remarquer que . On applique le théorème de dérivabilité sous le signe intégrale qui implique que f est de classe C1 et qui est encore de classe C1 etc. Le fait que sin soit de classe implique de même que f soit de cette classe.

[sarah79]

Le souci j'ai voulu calculer f''(0) en faisait f'(x)-f'(0)/x-0 mais ca me donne (xcosx-sinx)/x^3 mais quand je simplifie avec les DL je trouve -1/3 ce qui ne va pas, il faut que je trouve 0 donc je comprends pas.

[sarah79]

C'est bon si f''(0) =-1/3?

[girdav]

Je crois que oui. Pourquoi dis-tu dans le message précédent que ça ne va pas?

[sarah79]

je croyais qu'il fallait f'(0)=f''(0)

[girdav]

Sinon comme tu connais les développements limités tu peux t'aider de la formule de Taylor.

[Ben314]

Salut,
Si effectivment tu connait les développements limités, comme celui de sin(x) en 0 à l'ordre 4 est sin(x)=x-x^3/3!+o(x^4) cela signifie que f(x)=sin(x)/x=1-x^2/3!+o(x^3) et cela implique (formule de Taylors) que, si f est de classe C3 en 0, alors on a f(0)=1 ; f'(0)=0 ; f"(0)/2!=-1/3! et f'''(0)=0. Il est donc parfaitement normal de trouver que f"(0)=-1/3.

Attention simplement au fait que l'existence d'un D.L. à l'ordre 3 pour f n'implique pas que f est de classe C3 : il faut le montrer "à la main" (ou bien utiliser des outils un peu plus puissants que les D.L. ou bien... trouver une astuce comme le préconise Nightmare...)