Problème d'intégrale 4∫cos³x.sinx.dx

[zelfio]

PROBLÈME RÉSOLU. :happy2:

Bonjour,
J'ai fait cette intégrale par partie et le résultat trouvé est le bon.
C-a-d -cos^4 + C
J'ai alors essayé de refaire cette intégrale mais cette fois-ci par substition.

Alors je pose:
u=sinx
du = cosx.dx
J'ai donc:
4;)cos²x.u.du
= 4;)(1-sin²x).u.du
= 4;)(1-u²).u.du
= 4;)(u-u³).du
= 2u² + u^4 + C
= 2sin²x - (sinx)^4 + C
Ce qui vaut en réalité : 1-(cosx)^4 + C

Il y a donc clairement une erreur de calcul ou de raisonnement quelque part...
Merci d'avance.

[uztop]

Salut,

je ne comprend pas très bien tes calculs (pourquoi cos²x.u.du ?) ,mais ici il faut tout simplement reconnaitre une expression de la forme dont les primitives sont connues.

[Zavonen]

Alors je pose: t=sinx dt = -cosx.dx

la dérivée de sin c'est cos pas -cos

[Clise]

Bonjour,

Pour moi la seule différence entre

-cos^4 + C

et

1-(cosx)^4 + C

est la constante 1, or tes primitives sont définies à une constante près comme tu l'as fait remarquer en mettant la constante C.

[zelfio]

A Zavonen :
Oui, oui tu as raison c'était une erreur de frappe, je n'en avait pas tenu compte dans mon développement par après :)

A Clise :
Merci, je comprends mieux maintenant. Je n'y avait même pas pensé...

[Clise]

De rien, je redit mon message que j'avais supprimer par mégarde.

Bonjour,

Pour moi, la seule différence entre

-cos^4 + C

et

1-(cosx)^4 + C

est la constante 1. Or ta primitive est définie a une constante près comme tu l'as fait remarquer en mettant la constante C dans tes résultats. Tu as donc trouvé deux primitives, valables toutes les deux.

[ToToR_2000]

je crois que pour plus de précision, tu devrais davantage considérer le calcul de l'intégrale sur un intervalle avec des bornes fixées (par exemple, 0 x).
Et à ce moment-là, tu peux effectuer un changement de variable mais u = sin(t) mais il faut évidemment que sin soit une bijection sur [0,x] pour que ça fonctionne.
Si c'est le cas, alors tu pourras comparer le résultat entre les 2 méthodes (sur les mêmes bornes bien sûr)

[Black Jack]

Si tu veux absolument utiliser un changement de variable, il aurait mieux valu poser u = cos(x)

On avait alors directement: du = -sin(x) dx

Soit: -4 S u³.du = - u^4 = -cos^4(x)

C'est ce que tu aurais trouvé aussi en utilisant le conseil de uztop.
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F(x) = -cos^4(x) est UNE primitive de f(x) = 4.cos³(x).sin(x)

Mais il en existe une infinité d'autre, de la forme : F(x) = -cos^4(x) + K avec K une constante réelle quelconque.

Dans ta résolution (en corrigeant l'erreur de signe (du = cosx dx), ce qui a été fait la ligne suivante), on arrive bien aux primitives :

F(x) = 1-(cosx)^4 + C

Mais, il suffit de poser C+1 = K pour retrouver la forme F(x) = -cos^4(x) + K

Alors qu'est ce qui te dérange ?

Les primitives d'une fonction sont définies à une constante réelle près (du moins si le domaine d'existence est connexe, sinon c'est faux de penser qu'il s'agit d'ajouter lune constante réelle pour avoir toutes les primitives).

:zen:

[zelfio]

Merci pour cette magnifique explication Black Jack, je n'aurais rien pu rêver de mieux :D
Et il est vrai que poser u=cos(x) aurait été un choix plus judicieux.
Encore merci :)