DL simple, petite correction...

[Lostounet]

Bonjour, on vient de voir les DL, et j'ai celui-là qui ne marche pas ? Ou alors j'ai pas compris xD

DL(0) ordre 3



Déjà le DL de exponentielle en 0:



Ensuite, j'ai le DL de (x + 1)^(1/2):


Ensuite, pour pouvoir faire la substitution (je comprends pas c'est quoi la différence avec "composer", qui est interdit?..), il faut que la valeur de Y soit 0 en 0, ce qui est pas le cas de (x + 1)^(1/2).






Du coup, on peut poser

Y = x/2 - x^2/8 + x^3/8 + o(x^3)

Y^2 = x^2/4 - x^3/8 + o(x^3)

Y^3 = x^3/8 + o(x^3)


Et ça plante x)
J'ai fait plusieurs fois les calculs?

Merci de votre aide

[jonses]

Salut

Du coup, on peut poser

Y = x/2 - x^2/8 + x^3/8 + o(x^3)

c'est pas plutôt

[jlb]

salut, c'est bon, tu as fini!!

tu as donc e(1+[x/2-x²/8+x^3/16] + 1/2[x²/4-x^3/8] + 1/6[1/8x^3]) + o(x^3)

soit e +ex/2 +ex^3/48 + o(x^3)

[Robic]

Où est le problème ? Qu'entends-tu par « ça plante » ?

En poursuivant les calculs, j'obtiens :


J'espère ne pas avoir fait trop d'erreurs de calcul... En tout cas le terme d'ordre 1 est bon puisqu'il correspond bien à f'(0) (si on note f la fonction en question), je viens de vérifier.

Comme je suis courageux je vais dériver deux fois :
,
,
et on obtient bien :
f'(0) = e/2 ; f''(0) = 0.

Allez, soyons fou :
,
ce qui donne f'''(0) = e/8. Ah, zut ! Donc il y a une erreur quelque part...

[Ben314]

... f'''(0) = e/8. Ah, zut ! Donc il y a une erreur quelque part...

Ben, divisé par ça fait pas ?

[Robic]

Ah mais oui ! Dire que j'ai refait trois fois le calcul de la dérivée troisième ! :ptdr: Ça m'a abruti les neurones...

[Doraki]

Bonjour, on vient de voir les DL, et j'ai celui-là qui ne marche pas ? Ou alors j'ai pas compris xD

DL(0) ordre 3



Déjà le DL de exponentielle en 0:

Pourquoi diable fais-tu le DL de l'exponentielle en 0 alors que sqrt(x+1) vaut 1 quand x= 0 ?

D'abord il faut faire le DL de sqrt(x+1) quand x vaut 0, on trouve 1 + des trucs en x.
Ensuite on fait le DL de exp(y) en 1, on trouve e + des trucs en (y-1).
On remplace y par le DL de sqrt(x+1) et on développe tout.

[Robic]

Pourquoi diable fais-tu le DL de l'exponentielle en 0 alors que sqrt(x+1) vaut 1 quand x= 0 ?

Lostounet a décrit toute sa méthode et elle me semble correcte. Il fait le développement limité de l'exponentielle en 0 parce qu'il va l'appliquer à , qui tend bien vers 0.

Faire le développement de l'exponentielle en 1 est une deuxième façon (équivalente) de résoudre la question. Je ne suis pas sûr qu'elle soit plus simple.

(Et j'ai exposé une troisième façon, beaucoup plus laborieuse : calculer les dérivées successives. En fait c'était juste pour vérifier, vu que Lostounet n'était pas sûr de sa méthode...)

[Ben314]

Faire le développement de l'exponentielle en 1 est une deuxième façon (équivalente) de résoudre la question. Je ne suis pas sûr qu'elle soit plus simple.

Ce n'est certe pas plus simple (vu qu'au niveau calculs, c'est la même chose), MAIS, vu la façon dont présente lostounet, c'est un miracle que ça marche, miracle lié au fait que exp(xo+h)=exp(xo).exp(h) et donc que le D.L. de exp en 0 donne immédiatement le D.L. de exp en un point quelconque xo.

Sauf que le jour ou il devra calculer le D.L. de FoG où F sera autre chose que la fonction exponentielle, ben ce jour là, il n'y aura pas de miracle...
Donc... je pense la même chose que doraki : dans un tel exo, commencer par calculer le D.L. de exp en 0 avant d'avoir dit que celui dont tu as besoin, c'est celui en 1, ça montre que tu as pas bien compris ce que tu fait...

[Robic]

Pour moi, ça prouve juste qu'il a un peu bricolé avant de trouver comment faire le calcul (il développe exp en 0, se rend compte que ça ne va pas, donc s'occupe de la racine carrée de x+1, puis trouve une astuce pour se ramener au DL en 0 de exp(Y), etc.)

[Lostounet]

Pour moi, ça prouve juste qu'il a un peu bricolé avant de trouver comment faire le calcul (il développe exp en 0, se rend compte que ça ne va pas, donc s'occupe de la racine carrée de x+1, puis trouve une astuce pour se ramener au DL en 0 de exp(Y), etc.)

Oui c'est exactement ça ! :p

Merci beaucoup de votre temps, j'ai repris les calculs à tête reposée. Je vais aussi voir avec la formule des dérivées successives et Taylor Young (merci Wolfram pour les dérivées lol :p)


Pourquoi ne nous ont-ils pas appris les DL en terminale...

Je saisis un peu la remarque de Ben (je trouve le DL un peu miraculeusement en utilisant une propriété de l'exponentielle e^truc = e.e^((truc) - 1). Il faudrait préciser que je m'intéresse au DL en 1.
Pour l'instant c'est pas grave, la première étape c'est de bien comprendre comment tout ça fonctionne :p