Bonsoir,
J'arrive pas à démontrer (1) => (2) pour la dernière question du dernier exercice
http://www.fichier-pdf.fr/2014/03/11/dm3-1/
Un indice ?
Merci.
Merci d'avance
Séries de Taylor
6 messages
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par Ben314 » 11 Mar 2014, 23:41
Salut,
Supposons que=\sum_{n\geq 0}\lambda_n t^n)
pour tout 
.
Si on prend un
(par exemple 
), la série en question va converger au point 
donc le terme général de la série va tendre vers 0 donc il va être, en module, majoré par une certaine constante 
(ne dépendant que de ) : 
c'est à dire 
.
Aprés, je pense que tu as aussi vu qu'une série série entière, on peut la dériver "terme à termes" et donc que, pour tout, on a
=\sum_{n\geq 1}n\lambda_n t^{n-1})
puis
=\sum_{n\geq 2}n(n-1)\lambda_n t^{n-2})
puis... (petite récurrence...)
}(t)=\sum_{n\geq p}n(n-1)...(n-p+1)\lambda_n t^{n-p}<br />=\sum_{m\geq 0}(m+1)(m+2)...(m+p)\lambda_{m+p} t^{m})
On en déduit que, pour tout
, c'est à dire tel que 
, on a
}(t)|\,\leq\,\sum_{m\geq 0}(m+1)(m+2)...(m+p)\frac{K}{b^{m+p}} |t|^{m}\,<br />=\,\frac{K}{b^{p}} \sum_{m\geq 0}(m+1)(m+2)...(m+p)\Big(\frac{|t|}{b}\Big)^{m})
En appliquant l'inégalité démontré au début de l'exercice (on a le droit car
) on obtient :
}(t)|\,\leq\,\frac{K}{b^{p}}p!\Big(\1-\frac{|t|}{b}\Big)^{-p-1}\,<br />=\,\frac{Kb}{b-|t|} \Big(\frac{1}{b-|t|}\Big)^{p}p!)
Enfin, pour pouvoir majorer
par une constante, il suffit de limiter l'intervalle où on prend 
à un intervalle 
avec 
(par exemple 
)
Supposons que
Si on prend un
Aprés, je pense que tu as aussi vu qu'une série série entière, on peut la dériver "terme à termes" et donc que, pour tout
On en déduit que, pour tout
En appliquant l'inégalité démontré au début de l'exercice (on a le droit car
Enfin, pour pouvoir majorer
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Vupen » 12 Mar 2014, 00:07
Je te remercie pour ta réponse très détaillée, c'était tout bete :cry:
par Vupen » 24 Avr 2014, 18:23
Je reviens sur ce 3ème exercice. Je ne sais plus comment j'ai fait pour démontrer l'inégalité du 1)a) ... ><
par Ben314 » 24 Avr 2014, 18:45
Si tu dérive 
fois ^{-1}=\sum_{n=0}^\infty x^n\)
(où 
) tu obtient
^{-p-1}=\sum_{n=p}^\infty n(n-1)...(n-p+1) x^{n-p}=\sum_{m=0}^\infty(m+1)(m+2)...(m+p) x^{m})
Donc l'inégalité demandée semble bien être... une égalité...
Donc l'inégalité demandée semble bien être... une égalité...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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