Séries de Riemann

[matt25]

Bonjour,
je suis en prépa HEC. Je suis dans un exercice de DM de maths et j'ai vraiment besoin de votre aide, voici le problème et les pistes que j'ai:

On fixe alpha appartenant aux réels positifs et on pose
Sn= somme de 1/k^alpha pour k variant de 1 à n.

1)On suppose alpha=1. Montrer que lim Sn quand n tend vers +inf = +inf et donner un équivalent de Sn.

2)On suppose que alpha appartient à ]0;1[. Comparer 1/k^alpha et 1/k.

3) Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1,
Sn est supérieur ou égal à somme de 1/k pour k variant de 1 à n et en déduire la lim de Sn quand n tend vers +inf.

4) On suppose alpha>1.

a) Donner la monotonie de la suite Sn;
b)Montrer que Sn est majorée par alpha/ alpha-1.
c)Montrer que la suite (Sn) converge.

Alors pour la 1) je ne sais pas comment faire la démonstration.
2) Je ne vois pas comment on compare concrètement.


Merci d'avance pour votre aide.

Cordialement,
Matt.

[XENSECP]

pour la première question c'est tellement classique que tu tape "série harmonique" dans Google (pas de pub) et tu trouveras ce que tu veux :)

[Purrace]

Établit l'equivalent dans le cas général par encadrement intégrale et ton exo est fait.

[matt25]

C'est quoi le cas général?

[Purrace]

Suis plutôt les question de ton énonce , j'avais pas vu qu'il était aussi détaillé , pour la 1 , montre que 1+ln(n)=>som(1..n,1/k)>=ln(n+1) (encadrement intégrale) et tu en déduira que som(1..n,1/k) est équivalent à ln(n)

[matt25]

Merci, mais comment on fait pour l'encadrement intégrale?

[matt25]

Tu parles de l'intégration par parties?

[Purrace]

Remarque que la fonction 1/x décroit sur [1;+inf[ , donc tu peut ecrire
integrale(1..n+1,dt/t) <=sum(1/k,k=1..n) <= integrale(1..n ,dt/t).
Tu le montre en remarquant pour tout k, entier naturel strict positif tu a
integrale(k à k+1,dt/t) <=1/k <= integrale(k-1 à k ,dt/t).

[matt25]

C'est quoi le rapport avec mes questions?

[Purrace]

Ca te permet de trouver un équivalent pour la série harmonique et en plus montrer sa divergence.

[matt25]

ok et ça suffit à terminer l'exercice entier?

[Purrace]

Te rappelle qu'on est pas ici pour ton faire ton exo , tes remarques désobligeante m'empeche de t'aider plus!

[busard_des_roseaux]

tes remarques désobligeantes ..

Matt25 pourrait faire un gros effort de politesse. :hum:

Bjr,

pour la (1), tu peux vérifier que
ne vérifie pas le critère de Cauchy en minorant


combien cette différence comporte de termes ? quel est le plus petit ?
comment la minorer ?

une fois cela fait, on obtient:



chaque paquet étant plus grand que un demi

soit



Pour la (2)



en sommant de 1 à n:



Bon courage.

[matt25]

Merci. Et comment je fais pour donner la monotonie de la suite Sn?
J'utilise Un+1/Un?

[busard_des_roseaux]

est une somme. Il y a confusion entre les notions de terme général et suite des somme partielles .

[matt25]

Ok alors je dois utiliser S(n+1)-Sn mais je ne sais pas comment faire le calcul, vous pouvez m'éclairer svp?

[Purrace]

Tu ne cherche que les réponses ou tu le fait exprès , car la tu pose des questions qui n'ont pas lieu d'être quand on est en prepa!!