Bonjour à tous!
Je suis en train de faire un devoir sur les séries de Fourier, et il ne me reste qu'une question à résoudre.
La fonction étudiée est simple: elle est de R dans R, impaire, 2;)-périodique, et on a f(0)=f(;))=0, et pour x entre 0 et ;) exclus, f(x)=1.
En prenant les coefficients de Fourier An er Bn
(avec Sf(x)=;)(An*cos(nx)+Bn*sin(nx))), on a précédemment trouvé
An=0 pour tout n, et
Bn=(2/n;))(1-cos(n;))=(2/n;))(1+(-1)^(n+1))
Ensuite, on nous demande d'étudier les sommes partielles de la série de Fourier associée à f. Si on étudie la série jusqu'au rang n, on la note Sn(x).
On a observé au cours du devoir que
sin(x)S'10(x)=(2/;))sin(10x) et que
sin(x)S'100(x)=(2/;))sin(100x)
Mon problème est que je n'arrive pas à démontrer que pour tout n, on a:
sin(x)S'n(x)=(2/;))sin(nx)
Si quelqu'un a une idée... Elle est la bienvenue! ;)
Merci
Séries de Fourier
9 messages
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par trocho » 21 Mai 2008, 21:44
Bien bien bien...
Ca a l'air de ne pas trop intéresser de monde... :briques:
Allez, je vais essayer de faire un bel énoncé avec tex...
Comment montrer que
(\sum_{k=1}^n b_k sin(kt))'=\frac{2 sin(nx)}{\pi})
avec)}{k\pi})
Ca a l'air de ne pas trop intéresser de monde... :briques:
Allez, je vais essayer de faire un bel énoncé avec tex...
Comment montrer que
avec
par trocho » 22 Mai 2008, 11:34
En effet, c'est une erreur de ma part.
Merci d'avoir répondu!
En réfléchissant un peu plus, je remarque que
et que \pi})
J'ai donc l'impression que
=\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} b_{2k-1}sin((2k-1)x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} \frac{sin((2k-1)x)}{2k-1})
Est-ce que ça peut donner quelque chose, d'après vous?
(La vraie question, c'est "donner une expression simplifiée de sin(x)S'n(x) et en donner la preuve)
Parce que là, on a=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} cos((2k-1)x))
Merci d'avoir répondu!
En réfléchissant un peu plus, je remarque que
J'ai donc l'impression que
Est-ce que ça peut donner quelque chose, d'après vous?
(La vraie question, c'est "donner une expression simplifiée de sin(x)S'n(x) et en donner la preuve)
Parce que là, on a
par skilveg » 22 Mai 2008, 15:57
Tu as pensé à une récurrence utilisant des identités de linéarisation?
par trocho » 22 Mai 2008, 18:32
J'ai pensé aux formules de développement de trigo, mais je ne sais pas comment conclure...
Je vois bien queS_n'(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor} 2sin(x)cos((2k-1)x))
Puis, en utilisant le fait que 2sin(a)cos(b)=sin(a+b)+sin(a-b), on a
+sin(2(x-k))))
Bon, j'imagine que je ne vais pas dans le bonne direction...
Je vois bien que
Puis, en utilisant le fait que 2sin(a)cos(b)=sin(a+b)+sin(a-b), on a
Bon, j'imagine que je ne vais pas dans le bonne direction...
par skilveg » 22 Mai 2008, 19:47
En sommant ce que tu donnes comme une série géométrique, je trouve (je peux me tromper) \sin\left(\left[\frac{n+1}{2}\right]x\right)}{\sin x})
. Après, ça se simplifie mal...
par trocho » 22 Mai 2008, 19:52
Outch!
Je pense qu'on doit trouver un truc beaucoup plus simple...
Je crois que je complique tout avec les parties entières. Je suis sûr qu'il y a un moyen de les virer...
Parce que pour 10 et 100, on trouve respectivement)
et )
Je pense qu'on doit trouver un truc beaucoup plus simple...
Je crois que je complique tout avec les parties entières. Je suis sûr qu'il y a un moyen de les virer...
Parce que pour 10 et 100, on trouve respectivement
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