Séries de Fourier

par **mehdi-128** » 30 Mai 2007, 08:00

Bonjour, je dois étudier la convergence de la série de Fourier de f:R->R , 2Pi périodique définie sur ]-Pi,Pi[ par f(t)=t et telle que f(-Pi)=0.Et ensuite déterminer cette série.

Pour le calcul je pense que par parité on a :an=0.Ensuite je vois la méthode et j'obtiens:
f(t)= -2*sum(n=0...+inf) ((-1)^n*sin(nt))n

Merci..

par **kinounou** » 30 Mai 2007, 10:21

Bonjour,

Par calculs avec Maple, j'arrive bien au résultat : b_n=-2* n(-1)^n.
Attention ce sont les a_n qui sont nuls car la fonction f est impaire.

par **mehdi-128** » 30 Mai 2007, 12:07

Et pour l'étude de la convergence ,je vois pas trop comment faire....

merci

par **B_J** » 30 Mai 2007, 12:47

salut ;
je pense qu'on a plutot :

sauf erreur ...

par **manelle** » 30 Mai 2007, 13:10

mehdi-128 a écrit:Et pour l'étude de la convergence ,je vois pas trop comment faire....

merci

Bonjour Mehdi ,
dessine ta fonction , tu verras qu'elle est C1 par morceaux donc par le théorème de Dirichlet , la série de Fourier converge simplement vers la régularisée de f qui est f ici .

par **mehdi-128** » 30 Mai 2007, 14:03

ah ok merci ,doit on le montrer par le calcul?

par **kinounou** » 30 Mai 2007, 14:24

Oups, j'avais effectivement fait une erreur dans la reprise du calcul de b_n, c'est bien sur -2(-1)^n/n et non -2n(-1)^n.

Je ne comprends pas bien ta question concernant le calcul? De quel calcul parles-tu? C'est l'application d'un théorème, par contre tu dois vérifier que la régularisée de f est bien f.

par **mehdi-128** » 30 Mai 2007, 15:08

C'est quoi la régularisée d'une fonction?

par **mehdi-128** » 30 Mai 2007, 16:38

ah ok merci beaucoup mais ici on a :comme f(Pi)=0 alors:
f(x+)=f(Pi)=0 je vois pas que vaut f(x-)?

par **kinounou** » 30 Mai 2007, 17:26

Il ne faut pas oublier que la fonction f est 2pi-périodique! Et f(Pi+) n'est pas f(Pi) car f est définie par f(t)=t sur ]-Pi,Pi[!
f(x+)= limite à droite en x de f
f(x-)= limite à gauche en x de f.
Il suffit de reprendre le dessin de la fonction pour conclure.

par **mehdi-128** » 30 Mai 2007, 19:11

D'apres la figure ,elle est bien C1 par morceaux.

par **jeanne** » 01 Juin 2007, 16:12

Bonjour!

La fonction est impaire de période T et on veut prouver que le coefficient bn=0 pour n=2k avec k>=1.
On a :

b(2k) = 4/T

Mon prof pose alors h(t) telle que :

h(t) = f(t) sin(2k*2Pi*t/T)

et pour prouver que b(2k)=0 il montre que :

h(PI/2 - t) = - h(t)

Mon problème est là, je ne comprends pas en quoi cette égalité fait que l'intégrale est nulle...
Merci par avance!

par **fahr451** » 01 Juin 2007, 16:20

bonjour

doit y avoir une hypothèse supllémentaire sur f

car sinon f étant quelconque sur [0,T/2] on pourrait prendre

f(t) = sin(4kpit/T) sur [0,T/2] qui ne marche pas bien sûr

REM : au vu de ton dernier message il n'était pas du tout clair que c'était
"le f" du début de post...

par **jeanne** » 01 Juin 2007, 16:25

oui y'a d'autres hypothèses sur f qui sont :

f(x) = f(T/2 -x)
et f(x) = - f(T/2 + x)

Je les ai pas mises parce que je croyais que le fait de vouloir h(PI/2 - x) = - h(x) ne dépendait que du sinus.
Est ce que ces conditions sur f t'éclairent? Je reste dans le flou...

par **fahr451** » 01 Juin 2007, 16:29

est - ce que mon contre exemple sans hypothèse supllémentaire t éclaire?

par **fahr451** » 01 Juin 2007, 16:33

le sin at en question vérifie sin [a(T/2-t) ] = sin (at)
et grâce à l'hypothèse sur f
f(T/2- t) = - f(t) on a bien

h(T/2 -t) = -h(t) et non pi!

le changment de variables u = T/2 - t prouve que l 'intégrale est égale à son opposé et est donc nulle.

par **jeanne** » 01 Juin 2007, 16:48

Oui, je trouve l'intégrale égale à T/4 ce qui donne b(2k)=1, sauf erreur...
En fait ça m'arrange pas que tu m'ais démonté mon hypothèse, parce que le prof l'a utilisée pour résoudre l'exercice...

Il fallait que je prouve que la série de Fourier de f est de la forme :

(k) sin((2k+1)(2PI/T)x)

avec

(k) = b(2k+1)

Si je ne peux pas prouver que les b(2k) sont nuls comment je fais alors?

par **jeanne** » 01 Juin 2007, 16:50

Euh...ouais sur le coup je suis nulle...
Désolée pour la perte de temps!
Mais grand merci pour m'avoir montrer ma grosse bourde....

par **fahr451** » 01 Juin 2007, 16:52

je reprends car je n 'ai pas été clair

1 au vu de ton premier message le résultat que tu demandais était faux

j'ai donné un contre exemple (rem inutile decalculer l 'intégrale j'ai pris un carré de fct continue donc l 'intégrale est strictement positive)

2 avec l 'hypothèse supplémentaire

f(T/2-t) = - f(t) le résultat est juste je l'ai prouvé dans mon message précédent.

par **jeanne** » 01 Juin 2007, 17:19

Merci bien pour tes explications qui me prouvent mon manque de travail...

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