Séries entière ..

par **sandrine_guillerme** » 07 Jan 2007, 20:46

Salut tout le monde ..

Alors j'ai un petit souci avec les séries entière ..

on considère la série entière

le rayon de convergence c'est 1 ? (en considèrant la série géométrique .. ! )

ensuite il faut en déduire un développement en série entière de
f:]-R,R[->R définie pas :

essai :

y a t il convergence uniforme afin de pouvoir permuter la somme et l'intègrale, mais bon après je ne sais pas comment faire !

et finalement établir l'inégalité :

Voilà je vous pris de m'aider ..

Merci d'avance

par **Chalta** » 07 Jan 2007, 20:48

punaise ! j'arrive pas en première lecture à avoir une idée ...

c'est de mauvaise augure pour mon interro de demain matin 8h :mur:

bon je vais manger et je viens y réfléchir juste après !

par **fahr451** » 07 Jan 2007, 20:50

il n 'y a pas convergence uniforme sur ]-R,R[ mais bien sur [0,x] avec 0=donc permuter les deux sommes est licite

l'intégrale se calcule directement et vaut arctanx

une primitive de t^(2n) ne doit pas être trop dur
il suffit de bien choisir le x (l 'égalité te guidant)

par **sandrine_guillerme** » 07 Jan 2007, 20:52

Salut Chalta Moi aussi j'ai un devoir dessus demain , oh lala alors laisse tomber y a beaycoup de chose qui sont partis à l'oubli .. !
Merci de penser à m'aider ..

par **sandrine_guillerme** » 07 Jan 2007, 20:59

Salut fahr451 et merci .

fahr451 a écrit:il n 'y a pas convergence uniforme sur ]-R,R[ mais bien sur [0,x] avec 0=<x<R
donc permuter les deux sommes est licite

Tu peux me rappeler pourquoi la convergence est elle uniforme ici stp ?

fahr451 a écrit:l'intégrale se calcule directement et vaut arctanx

Oui je suis d'accord .. mais comment on va faire ensuite ? donner le DSE de arctan ?

fahr451 a écrit:une primitive de t^(2n) ne doit pas être trop dur
il suffit de bien choisir le x (l 'égalité te guidant)

oui elle est égal à

mais pourquoi faire ?
Merci de préciser d'autant plus ..

par **fahr451** » 07 Jan 2007, 21:05

c'est le cours sur les séries entières

si R est le rayon de convergence

il y a convergence uniforme (même normale) sur tout disque (complexe) de centre 0 et de rayon r avec r
la démo est simple et repose sur le lemme d'abel

pour r
an r'^n est bornée par un certain M et donc pour z tel que

lzl=
d'où la convergence normale sur D(0,r)

ensuite je ne comprends pas trop tes questions
en effet ce n'est pas autre chose que le dse de arctan

(obtenu par intégration du dse de sa dérivée , on réinvente la roue on dirait)

et pour x = 1/rac(3) on a l'égalité demandée.

par **sandrine_guillerme** » 07 Jan 2007, 21:11

Bien :id: c'est parfait !

certes, mais j'ai un dernier souci sur cet exo !

DSE de Arctan :doh: je me rappel notre nous a dis vous pouvez complètement zapper sur ça quoi et la je trouve que c'est un exo de d'examen de l'an dernier !!!!!! :doh: :doh: :doh:
Stp, fahr451 un dernier truc a propos de ceci ..

tu peux me dire comment tu fais (expliquant) comme dans ton deuxièmme post stp !
sinon j'ai compris le reste c'est même parfait !

par **fahr451** » 07 Jan 2007, 21:14

on fait exactement comme ds ton exo

arctan' x = 1/(1+x^2)

on connait le dse de 1/(1+x^2) et on l 'intègre terme à terme sans oublier la valeur de arctan 0 = 0

l'intégration terme à terme vient exactement de la permutation de sigma et d 'intégrale valable grâce à la convergence uniforme sur [0,x]

par **sandrine_guillerme** » 07 Jan 2007, 21:25

Yes !

Parfait !

Merci !

:++: :++: :++: :++: :++:

par **sandrine_guillerme** » 07 Jan 2007, 21:34

ah oui excuse moi,
une autre chose ..

pour le rayon de converge je dis que c'est 1, correct ?
démo:

pour x<1 (1)^n est borné (car elle converge)
pour x>1 elle est pas bornée ..

suffit elle cette petite preuve ?

par **Chalta** » 07 Jan 2007, 22:19

alors je viens de relire mon cours, et cet exemple est dedans (plus ou moins formulé sous la même forme)

le rayon de convergence c'est un, nous on l'a montré par changement de variable, on pose X = -x^2, donc la formule devient 1 / (1-X) dont on sait que le rayon de convergence c'est 1.

Je peux pas t'aider pour la démo, on l'a pas faite.

par **sandrine_guillerme** » 07 Jan 2007, 22:38

Merci Chalta :++:
Pour la démo il suffit de dire que c'est une suité géométrique qui converge pour X<1 ! et donc R=1 et le disque c'est ]-1,1[
Voila ..

P.S: J'adore ton avatar ! je peux savoir qui est ce ?
Merci

par **fahr451** » 08 Jan 2007, 11:49

sandrine_guillerme a écrit:ah oui excuse moi,
une autre chose ..

pour le rayon de converge je dis que c'est 1, correct ?
démo:

pour x1 elle est pas bornée ..

suffit elle cette petite preuve ?

oui si ce n'est que j'aurais précisé
0==1
x>1 (-1)^n x^(2n) non bornée donc R=<1

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