Série

[capitaine nuggets]

Bonjour, on viens d'attaquer les séries et j'aimerais résoudre cette exercice :

Dire si la série de terme général est convergente, et si oui, déterminer sa limite.

On est en présence d'une fonction rationnelle (puisque quotient de deux polynômes) donc je cherche cinq réels tels que :

.
Ai-je bon jusque là ?

[arnaud32]

pour la convergence il suffit d'un equivalent en +oo
ensuite (n+1)²=n²+2n+1

[capitaine nuggets]

pour la convergence il suffit d'un equivalent en +oo
ensuite (n+1)²=n²+2n+1

Un équivalent en de est .
Donc cette série converge.
Par contre, je ne vois pas bien pourquoi tu me dis que .

[arnaud32]

Un équivalent en de est .
Donc cette série converge.
Par contre, je ne vois pas bien pourquoi tu me dis que .

donc
et tu coupes ta serie en deux

[Luc]

Un équivalent en de est .
Donc cette série converge.

Oui, pourquoi?

Par contre, je ne vois pas bien pourquoi tu me dis que .

Je pense que c'est pour le calcul de la limite (tu vas voir apparaître une somme télescopique).

[capitaine nuggets]

donc
et tu coupes ta serie en deux

Ah ouais, astucieux !

Du coup :
.
Par suite :
.

Mais s'il n'y avait pas eu cette astuce, on aurait dû faire une décomposition en élément simple comme je l'ai fait au début ?

[capitaine nuggets]

Oui, pourquoi?

Je pense que c'est pour le calcul de la limite (tu vas voir apparaître une somme télescopique).

Parce que .

C'est quoi une somme télescopique ?

[Luc]

Mais s'il n'y avait pas eu cette astuce, on aurait dû faire une décomposition en élément simple comme je l'ai fait au début ?

La somme d'une série convergente n'est qu'exceptionnellement calculable de façon exacte.
D'autre part, faire une décomposition en éléments simples, ça peut servir à beaucoup de choses (surtout à calculer des intégrales), mais pas à ma connaissance à calculer des sommes de séries. En fait ça rajoute même des problèmes de convergence (les séries de terme général et divergent...).
Enfin, ta décomposition en éléments simples n'est pas correcte : il faut la rechercher sous la forme
.

[Luc]

Parce que .

Alors si le terme général d'une série tend vers 0, cette série converge?
Ça simplifierait beaucoup l'étude des séries, malheureusement c'est faux. (en fait c'est vrai pour la distance p-adique, mais ça compte pas :we:, ici on est avec des nombres réels ou complexes et la valeur absolue usuelle).
Contre-exemple : La série harmonique, n'est pas convergente. On a . Pourtant, .

C'est quoi une somme télescopique ?

C'est pas très rigoureux, mais en gros c'est quand tu reconnais que le terme général d'une série s'écrit sous la forme . Les termes successifs se "télescopent" et il ne reste que les termes extrémaux.

[capitaine nuggets]

La somme d'une série convergente n'est qu'exceptionnellement calculable de façon exacte.
D'autre part, faire une décomposition en éléments simples, ça peut servir à beaucoup de choses (surtout à calculer des intégrales), mais pas à ma connaissance à calculer des sommes de séries. En fait ça rajoute même des problèmes de convergence (les séries de terme général \frac{1}{n} et \frac{1}{n+1} divergent...).
Enfin, ta décomposition en éléments simples n'est pas correcte : il faut la rechercher sous la forme
.

Oui, ce sont les termes en qui me posent problème dans les décompositions :
Par exemple, quelle est la forme de la décomposition de ?

[Luc]

Oui, ce sont les termes en \frac{1}{X^k} qui me posent problème dans les décompositions :
Par exemple, quelle est la forme de la décomposition de ?

C'est .

[capitaine nuggets]

C'est .

Et pourquoi ca ne serait pas ?
Et si l'on avait ?

J'ai trouvé un autre exercice :

On a définie par , et .
Je cherche pour quelles valeurs de la série converge.

Mais je n'ai aucune piste :--:

[capitaine nuggets]

C'est .

Et pourquoi ca ne serait pas ?
Et si l'on avait ?

J'ai trouvé un autre exercice :

On a définie par , et avec .
Je cherche pour quelles valeurs de la série converge.

Mais je n'ai aucune piste :--:

[Luc]

Et pourquoi ca ne serait pas ?
Et si l'on avait ?

Bin parce que est un élément simple. est aussi un élément simple... Je te conseille de relire ton cours sur la décomposition en éléments simples.

J'ai trouvé un autre exercice :

On a définie par , et avec .
Je cherche pour quelles valeurs de la série converge.

Mais je n'ai aucune piste :--:

Tu peux commencer par simplifier le problème en regardant les valeurs de pour lesquelles la série est grossièrement divergente (son terme général ne tend pas vers 0). Ensuite, regarde les valeurs de pour laquelle elle est absolument convergente. Ensuite, dans l'intervalle que tu as trouvé, il faudra faire une étude plus fine (par paquets de 3 termes) pour savoir si la série est semi-convergente ou si elle est divergente.

[capitaine nuggets]

Ben déjà pour , la série diverge, mais après j'ai du mal.

[Luc]

Ben déjà pour , la série diverge

Pourquoi?
De plus, que se passe-t-il pour ?

Ensuite, regarde ce qui se passe pour

[capitaine nuggets]

Oui, je suis bête :
Si alors la série diverge vers ou .

Par contre pour j'ai quelque problème.
Je sais que pour la série diverge, alors que pour , .
Mais je ne saurais pas le prouver.

[capitaine nuggets]

Oui, je suis bête :
Si alors la série diverge vers ou .

Par contre pour j'ai quelque problème.
Je sais que pour la série diverge, alors que pour , .
Mais je ne saurais pas le prouver.

[capitaine nuggets]

Oui, je suis bête :
Si alors la série diverge vers ou .

Par contre pour j'ai quelque problème.
Déjà, je ne connais que les variations pour entier :
Je sais que pour la série diverge, alors que pour , .
(Mais je ne saurais pas le prouver).

[Luc]

Oui, je suis bête :
Si alors la série diverge vers ou .

Pourquoi?
[quote="capitaine nuggets"]
Par contre pour converge. Ces séries s'appellent les séries de Riemann. Cela se démontre en les comparant avec des intégrales.