Série des (-1)^[sqrt(n)] / n

[acteon]

Bonjour,
je suis tombé sur un exercice où il fallait trouver la nature de la série de terme général (-1)^[sqrt(n)] /n
(ici [ ] désigne la partie entière: la puissance du (-1) est donc partie entière de sqrt(n))
L'indication est de faire du regroupement de termes mais je vois mal car si je regroupe les entiers consécutifs k1,...kp tels que [sqrt(ki)] = n , c'est certes naturel (par exemple 2,3 ensemble , 4,5,6,7,8 ensemble , 9,10,11,12,13,14,15 ensemble etc...) mais les paquets sont de plus en plus gros, ça ne marche plus comme dans la situation classique où ils sont de taille fixée.
Quelqu'un aurait il une idée svp?

[Ben314]

Salut,
Je ne vois pas bien en quoi le fait que les paquets "sont de taille variable" influe sur le raisonnement à tenir.
A mon sens, le premier truc à faire, c'est d'estimer la valeur de la somme des différents paquets histoire d'avoir une idée de quoi faire ensuite.

EDIT : J'arrive à montrer que ta série converge via le critère des séries alternées, mais avec des calculs un peu lourd pour montrer la décroissance du terme général en valeur absolue.

[acteon2]

Bonjour et merci pour ta réponse.
En fait pour l'histoire des paquets de taille variable, comme le principe du regroupement par paquets est d'étudier les sommes partielles extraites Snp,...Snp+p-1 , tant que p indépendant de n ça va mais ici il dépend de n et tend vers +inf, ce qui n'est plus aussi simple, a moins s'adapter la démo?

Pour ton édit, tu as pris quoi comme "terme général alors"? Celui issu du regroupement que j'évoquais dans mon premier message? Peux tu m'en dire un petit peu plus stp?

Merci

[Ben314]

Je comprend toujours pas ce qui te gène dans le fait que les paquets soient de taille variable :
Ce qu'on va regarder, c'est certaines sommes partielles particulières, plus précisément les (qui correspondent au moment où le augmente d'une unité).
Sauf que, ce qui se passe pour "les vrai" sommes partielles entre deux de ces sommes partielles particulières successives, c'est complètement évident vu qu'on ne fait qu'ajouter des termes de même signes.
Donc, lorsque on va avoir qui est compris entre et (où le sens de la double inégalité va dépendre de la parité de ) et ça assure que, si la suite extraite est convergente, alors la suite l'est aussi.
Bref, bis et répétita : je ne vois pas où intervient le fait que les "paquets" sont de taille variable.

Sinon, c'est égal où .
Donc ça correspond à une série alternée et on a un critère classique qui nous dit que si la suite est décroissante et de limite nulle, alors la série converge.
La limite nulle est facile à voir (en majorant par le nombre de termes fois le plus grand), mais la décroissance ne me semble pas évidente.
Perso., j'ai calculé la différence terme à terme des termes de avec les premiers termes de (qui a deux termes de plus), j'ai écrit que la somme des différence était supérieure au nombre de terme fois la plus petite différence et j'ai vérifié que c'était bien supérieur à la somme des deux termes qu'il y a en plus dans .
Je pense qu'il doit y avoir plus simple, mais j'ai la flemme de chercher . . .

[acteon]

Bonjour et merci pour ton message, c'est ok pour moi.
Merci!

[Ben314]

Sinon, une comparaison basique somme/intégrale donne

ce qui suffit pour montrer la décroissance de la suite vu que

[acteon]

merci je vais le rédiger comme ça aussi