Série alternée

[Anonyme]

Bonjour à tous, je bloque sur un exercice.

Pour tout n de N, Un = (-1)^n/(3n +1)

J'ai précédemment montré que Un converge (critère spécial) puis que, je crois, Un=(-1)^n*;)[0,1]x^(3n)dx

On veut exprimer ;)[n=0,p-1]Un -;)[0,1]1/(1+t^3)dt comme une intégrale (pour p de N*) et je bloque un peu.

Merci d'avance.

[arnaud32]

donc
donc

[Anonyme]

Merci beaucoup mais ce n'est pas plutôt:

[arnaud32]

Merci beaucoup mais ce n'est pas plutôt:

oui bien sure

[Anonyme]

Excusez moi ce n'était peut-etre pas clair
L'ordre des questions c'est:
on part de Un = (-1)^n/(3n +1)
1°)montrer que Un converge: fait avec le critère spécial
2°)exprimer Un comme une intégrale: fait:
3°)On obtient au final que:
4°)montrer que lim(n;);)););)[0,;);)2]cos^n(x)sin(x)dx=1 et [0,;);)2]lim(n;);));)(cos^n(x)sin(x))dx=0
5°)en déduire une expression deà l'aide d'une intégrale, la calculer pour obtenir explicitement la valeur de (à titre de controle cette valeur fait intervenir ln2,pi et racine3)
Pour le calcul on supposera que 1/(1 + t³)= A/(1+t)+(Bt+C)/(t²-t+1)


J'aurais besoin d'une piste pour la 5°)
Merci d'avance

[Anonyme]

j'ai trouvé a=1/3 b=-1/3 et c=2/3 mais je ne sais pas quoi en faire

[arnaud32]

tu as fait le numero 4? 5?

[Anonyme]

tu as fait le numero 4? 5?

J'ai fait le 4 je bloque sur la 5

[arnaud32]

si x>0 tu as x^p/(1+x)
ensuite tu fais un changement de variable x=cos(t)

[Anonyme]

Je ne comprends pas le rapport avec la question

[arnaud32]

tends vers 0 pour p -> +oo

[Anonyme]

je trouve: ;)dt/(1+t³) = (1/3)ln|t+1| + (1/6)ln|t²-t+1| + (1/;)(3))arctan[(2t-1)/;)(3)] + Constante
donc ;)[0,1]dt/(1+t³) = (1/3)ln2 +Pi/(3;)3)
Mais comment le relier à \sum_{n=0}^{+infini}U_n?

[arnaud32]

tu as grace a 3)


et tu as montre que le membre de droite tend vers 0 pour p allant a l'infini
donc

[Anonyme]

ok merci de votre aide