Sens de variation et dérivée

[AceVentura]

Bonsoir.
Soit un intervalle de avec . On dispose d'une application , continue sur , dérivable sur .
Alors on a :
1) croît ssi
2) décroît ssi
3) constante ssi
Pour la démonstration pas de problème.

[-] Mais j'ai besoin de plus de précision sur l'intervalle . Que faut-il dessus ? Que ?

[-] Par ailleurs, il faut donner dans chaque cas un exemple ou l'on a pas l'équivalence si l'on ne dispose pas d'un intervalle. J'ai quelque chose pour le 3), mais je n'y parviens pas au 1) et 2) :

, f vaut 0 sur le premier intervalle et 1 sur le second. Alors f n'est pas constante et pourtant sa dérivée est nulle.

[-] Il faut donner une CNS de strict monotonie. Et donc le prof écrit :
(a)
(b) ne contient pas d'intervalle ouvert.

Cependant il n'en donne pas de démonstration
Merci d'avance pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
[-] Mais j'ai besoin de plus de précision sur l'intervalle . Que faut-il dessus ? Que ?
Oui, et, la plupart du temps, quand on écrit "soit [a,b] un intervalle on sous entend que a [ (a) et (b) ]

Essaye de montrer que :
(c) => (a)
non(b) => non(c) { ce qui prouve que (c) => (b) }
[(a) et non(c)] => non(b) { DONC non(c) => [non(a) ou non(b)] PUIS [(a) et (b)] => (c) }

[AceVentura]

[-] Donc si et sont deux réels de , on a pas besoin de parler d'intérieur d'un intervalle ou que sais-je ? J'ai vu des bouquins dans lequel il est écrit :
un intervalle de d'intérieur non vide, de bornes et , [TEX]a (b) }[/quote]

Pourquoi ça ?

[Ben314]

un intervalle de d'intérieur non vide, de bornes et , [TEX]a Q dit exactement la même chose que non(Q) => non(P) :
La première dit que si P est vrai alors Q l'est obligatoirement aussi, ce qui signifie qu'il est impossible d'avoir a la fois P vrai et Q faux.
La deuxième dit que si Q est faux alors P l'est obligatoirement aussi, ce qui signifie qu'il est impossible d'avoir a la fois Q faux et P vrai : c'est bien la même chose.

Essaye de voir pour la dernière implication que je te donne (qui utilise aussi une contraposée), ou alors, fait pour chaque implication un raisonnement par l'absurde, c'est à dire que, pour montrer que P => Q, tu suppose P vrai et Q faux et tu montre que ça conduit à une connerie...

[AceVentura]

Ok.
Mais une fois prouvé que (c) implique (a) et (c) implique (b), que reste-il à démontrer ?
C'est un peu confus la fin pour moi !

[(a) et non(c)] => non(b) { DONC non(c) => [non(a) ou non(b)] PUIS [(a) et (b)] => (c) }

:hein:

[Ben314]

Pour la première partie du théorème, c'est fini : tu as montre que, si f est strictement croissante (i.e. (c)) alors (a) et (b) sont vrais.

Pour la deuxième, de nouveau, c'est de la "logique mathématique" : les différentes phrases que j'ai écrit disent exactement la même chose.
Si tu n'est pas familier de ce type de raisonnement, mait le par l'absurde :

On veut montrer que, si (a) et (b) sont vrais alors (c) l'est aussi.
On suppose donc que (a) et (b) sont vrais mais que (c) est faux, et on doit montrer que c'est absurde.
Traduit ce que disent (a) et non(c) et tu verra que cela entraine que (b) est faux, ce qui termine la preuve.

[AceVentura]

Si (c) est vrai alors (a) et (b) sont vrais, OK.
Maintenant on veut montrer que :
"(a) et (b) [implique] (c)" cad par définition "non( (a) et (b) ) ou (c)"

On suppose donc "non( non( (a) et (b) ) ou (c) )" = "(a) et (b) et non(c)".

Mais si on (a) f' est positive.
Et si on a non(c) f n'est pas strictement croissante : c'est quoi la négation exacte de cela ? f croissante, f décroissante ou f constante ? Il faut rajouter le cas ou f oscille aussi non ?

Bref peut-il dans ces conditions exister un intervalle ouvert ]s,t[ sur lequel f'(x) est nulle. Je ne vois pas de contradiction, car si c'était le cas, f serait constante sur tout ]s,t[ donc de dérivée positive et non strictement croissante.

:hein:

[Nightmare]

[-] Par ailleurs, il faut donner dans chaque cas un exemple ou l'on a pas l'équivalence si l'on ne dispose pas d'un intervalle.

Pour donner un exemple "usuel", la fonction inverse sur R* convient !

[Ben314]

Si (c) est vrai alors (a) et (b) sont vrais, OK.
Maintenant on veut montrer que :
"(a) et (b) [implique] (c)" cad par définition "non( (a) et (b) ) ou (c)"

On suppose donc "non( non( (a) et (b) ) ou (c) )" = "(a) et (b) et non(c)".

Mais si on (a) f' est positive.
Et si on a non(c) f n'est pas strictement croissante : c'est quoi la négation exacte de cela ? f croissante, f décroissante ou f constante ? Il faut rajouter le cas ou f oscille aussi non ?

(c) dit que : pour tout x1=f(x2)
Or, on a supposé (a), ce qui implique que f est croissante sur l'intervalle.
Pour tout x de [x1,x2], on a donc f(x1)<=f(x)<=f(x2) mais f(x2)<=f(x1) donc cla prouve en fait que f(x1)=f(x)=f(x2), c'est à dire que f est constante et donc de dérivée nulle sur ]x1,x2[ : contradiction.

Attention : une fonction non strictement croissante n'est pas forcément décroissante : elle peut parfaitement osciller (comme tu le fait remarquer), sauf qu'ici, par hypothèse, on sait qu'elle est croissante...