Rotationnel nul

[Marcet003]

Bonjour,
J'ai le problème suivant :



Le corrigé dit que 1) est fausse et que tte. les autres sont vraies mais sans explications. D'après un corollaire de mon cours, j'ai que pour un domaine régulier de bord orienté positivement et



Comment si le rotationnel de F est nul et au vu de la proposition de mon cours, je peux avoir que l'integrale du pt. 1 vaut pi/2 ?

Merci d'avance,...

[Ben314]

Salut,
Dans un cas pareil, vu la simplicité du bidule, il me semble pas idiot de commencer par calculer la circulation de le long de en utilisant simplement la définition :
La paramétrisation la plus usuelle de c'est évidement qui donne immédiatement
vu que
Donc 1. est fausse, 2. est vrai et, comme 3. est un théorème classique (donc vrai !!!) on en déduit que 4. est vrai.

[Marcet003]

Mais ça veut dire que je peux pas appliquer la proposition qui utilise le rotationnel ds. ce cas là ?

[Ben314]

Le problème, c'est que la question 5., je ne la comprend pas vu que je ne sait pas ce que signifie dans un tel contexte. Le seul truc que je connais vaguement, c'est le rotationnel avec une flèche et uniquement dans le cas d'une fonction .

C'est quoi la définition de pour une fonction ?

[Marcet003]

Pour et c'est donc un champ scalaire

[Ben314]

Dans ce cas, la Formule de Green te dit effectivement que .
Sauf que tu ne peut pas d'appliquer cette formule en prenant pour le disque unité vu que la fonction n'est pas définie en .
Par contre, tu pourrais appliquer ce résultat en prenant pour le disque unité privé d'un disque de rayon où le bord de est formé de deux cercles (parcourus dans des sens différents). Là, tu trouverais effectivement que vu que les intégrales sur les deux cercles sont égale (*)

Bref, à mon avis, le plus rapide pour montrer que ton est bien nul, ben c'est bêtement de le calculer . . .

(*) à titre de mini exo., vérifie le . . .

[Marcet003]

Si je veux appliquer le thm. de Green ds. mon exemple, je devrais avoir une fct. continument dérivable par rapport à ses 2 variables. Mais je ne vois pas en quoi un pt. au centre de mon domaine ou f n'est pas définie me pose problème comme je cherche une longueur au final via une intégrale....En bref, je ne vois pas le rapport entre le pt. (0,0) et le thm. de Green que je ne pas appliquer.

[Ben314]

Est ce que tu croit par exemple qu'on peut appliquer un truc comme le théorème des valeurs intermédiaire à la fonction sur l'intervalle ?
Ben là, c'est exactement la même chose, pour pouvoir appliquer la formule de Green, il faut bien évidement que ta fonction soit parfaitement définie (et régulière) sur tout le domaine (et c'est écrit en noir sur blanc dans toutes les versions que tu trouvera de ce fameux résultat).

P.S.1 : Et je te signale que, pour avoir "une fct. continument dérivable par rapport à ses 2 variables" comme tu dit, ben ça me semble pas idiot de commencer par regarder si la fonction en question est (ou pas) définie sur le domaine sur lequel on compte intégrer.
P.S.2 : Et si par hasard, tu ne compte calcule que la partie "intégrale simple" de la formule de Green sans calculer l'autre partie, tu peut m'expliquer à quoi va te servir une égalité du type A=B où on ne peut calculer que le A et pas le B ?

[Marcet003]

Merci pour tes conseils. J'ai montré ce que tu m'as suggéré avec les cercles parcourus dans des sens différents.