Rotationnel et fonctions à déterminer

par **trablazar** » 13 Avr 2014, 17:22

Bonjour à tous,

Etant dans les révisions, je fais quelques exos dont je n'ai pas la correction, je viens donc quérir votre aide ^^

L'exercice est: j'ai un champ de vecteur

1) Montrer qu'il existe un champ de vecteurs A tel que V= rot A.

La j'ai montré que div V = 0 donc qu'il existe A tel que V= rot A car div(rot A)=0 (corrigez moi si c'est faux ^^)

2) On cherche A sous la forme:

Determiner les formes générales de

et

pour que V = rot A.

J'ai donc fait le rot A et j'obtiens:

Sauf que le truc c'est qu'a partir de la, je sais pas comment manipuler les

et les

: Par exemple j'ai

donc j'ai

donc

et de la même manière

Mais quand il s'agit de réutiliser R et Q avec

et

, je ne sais pas comment je suis censé dériver: comment dois-je exprimer

par exemple, si je ne sais rien de la fonction ?

par **Ben314** » 13 Avr 2014, 19:03

Salut,
Déjà, je pense que ton R, c'est plutôt

que

.

Après, le fait que

, vu que

, ça te dit que

c'est à dire que

soit encore que, vue comme fonction uniquement de x,

.
Cela signifie en fait que

.

Tu fait de même avec la 3em relation pour exprimer Phi puis tu réinjecte ça dans la première équation pour conclure...

par **trablazar** » 13 Avr 2014, 19:07

Ben314 a écrit:Salut,
Déjà, je pense que ton R, c'est plutôt que .

Après, le fait que , vu que , ça te dit que c'est à dire que soit encore que, vue comme fonction uniquement de x, .
Cela signifie en fait que .

Tu fait de même avec la 3em relation pour exprimer Phi puis tu réinjecte ça dans la première équation pour conclure...

Ok c'est parfait merci !

par **Skullkid** » 13 Avr 2014, 19:30

trablazar a écrit:1) Montrer qu'il existe un champ de vecteurs A tel que V= rot A.

La j'ai montré que div V = 0 donc qu'il existe A tel que V= rot A car div(rot A)=0 (corrigez moi si c'est faux ^^)

Bonjour, attention, ce n'est pas parce que les rotationnels sont à divergence nulle qu'un champ à divergence nulle peut forcément s'écrire sous la forme d'un rotationnel. Il se trouve qu'on peut toujours écrire un champ à divergence nulle sous la forme d'un rotationnel, mais la démonstration est autre.

J'imagine que dans ton cours la propriété est admise, donc tu peux l'utiliser telle quelle en disant juste "div V = 0 donc il existe A tel que V = rot A", mais n'ajoute surtout pas "car div(rot A) = 0".

par **trablazar** » 13 Avr 2014, 19:39

Skullkid a écrit:Bonjour, attention, ce n'est pas parce que les rotationnels sont à divergence nulle qu'un champ à divergence nulle peut forcément s'écrire sous la forme d'un rotationnel. Il se trouve qu'on peut toujours écrire un champ à divergence nulle sous la forme d'un rotationnel, mais la démonstration est autre.

J'imagine que dans ton cours la propriété est admise, donc tu peux l'utiliser telle quelle en disant juste "div V = 0 donc il existe A tel que V = rot A", mais n'ajoute surtout pas "car div(rot A) = 0".

Ah ok, merci pour l'info ! Mais du coup puisque V = rot A et div V = 0, ca revient à écrire div (rot A) = 0 non ? C'est donc le "car" qui pose problème car il n'a aucune valeur de preuve ?

par **Ben314** » 13 Avr 2014, 19:47

trablazar a écrit:Ah ok, merci pour l'info ! Mais du coup puisque V = rot A et div V = 0, ca revient à écrire div (rot A) = 0 non ? C'est donc le "car" qui pose problème car il n'a aucune valeur de preuve ?

Bien sûr que non : pour prendre un exemple plus simple, mettons que tu ait constaté qu'une fonction f s'annule en x=5, c'est à dire que tu as montré que f(5)=0.
Si plus loin, tu trouve un y tel que f(y)=0, ça ne prouvera pas du tout que y=5 !!!!

Donc là, c'est pareil, le fait que div(rot(A))=0 pour tout A ne prouve absolument pas qu'un truc de divergence nul est forcément un rotationnel de quelque chose. (pas plus que f(y)=0 n'implique que y=5)

P.S. : Il faut bien comprendre la différence entre une implication et une équivalence :
Ce qui est vrai (est façile à vérifier) : SI B=rot(A) ALORS div(B)=0
Et ce n'est pas du tout équivalent à : SI div(B)=0 ALORS B=rot(A)

par **Skullkid** » 13 Avr 2014, 19:51

trablazar a écrit:Ah ok, merci pour l'info ! Mais du coup puisque V = rot A et div V = 0, ca revient à écrire div (rot A) = 0 non ? C'est donc le "car" qui pose problème car il n'a aucune valeur de preuve ?

Ça ne revient pas au même puisqu'il n'y a pas a priori équivalence entre les deux. Il y a une implication évidente "quels que soient les champs de vecteurs A et V, si div V = 0 et V = rot A alors div(rot A) = 0" et un théorème "quel que soit le champ de vecteurs A, div(rot A) = 0". Mais en utilisant seulement ces deux résultats tu ne pourras jamais justifier "quel que soit le champ de vecteurs V, si div V = 0 alors il existe A tel que V = rot A".

Edit : grillé par Ben314 ^^

par **Ben314** » 13 Avr 2014, 20:00

En plus, je ne sais même pas si la réciproque est vraie dans le cas général (j'y connais que dalle aux "rotationnels et autres divergences : pour moi c'est du charabia...)
Mais je pense qu'au fond, c'est un problème de "relèvement" de solutions d'équations différentielles, et ça ne m'étonnerais pas plus que de raison que la fameuse réciproque ne soit valable QUE sur des domaines simplement connexes, voire même uniquement sur des domaines homotopes à un point...

par **trablazar** » 13 Avr 2014, 20:03

Ah ok j'ai du me tromper alors, dans mon cours il y a marqué "Une condition nécessaire et suffisante pour que V dérive d'un potentiel vecteur (cf: qu'il existe A tel que V=rot A) est que div V = 0"

par **trablazar** » 13 Avr 2014, 20:05

C'est vrai que j'ai quelques problèmes quand il s'agit de savoir ce que j'ai le droit d'utiliser avec les implications et compagnie ^^ Du coup je vais eviter de faire l'erreur

par **Ben314** » 13 Avr 2014, 20:43

Fait attention : Ce que skullkid te dit (et moi aussi...) ce n'est pas que l'implication "Si div(B)=0 alors B=rot(A)" est fausse, c'est que cette implication ne dit pas la même chose que "Si B=rot(A) alors div(B)=0".

En conséquence, il ne faut pas écrire "... div V = 0 donc qu'il existe A tel que V= rot A car div(rot A)=0"
Le "car" en rouge est faux (le reste est juste, mais en écrivant ton "car..." tu fait comme s'il n'y avait pas de différence entre une implication et sa réciproque)

par **Skullkid** » 13 Avr 2014, 20:45

Ben314 a écrit:En plus, je ne sais même pas si la réciproque est vraie dans le cas général (j'y connais que dalle aux "rotationnels et autres divergences : pour moi c'est du charabia...)
Mais je pense qu'au fond, c'est un problème de "relèvement" de solutions d'équations différentielles, et ça ne m'étonnerais pas plus que de raison que la fameuse réciproque ne soit valable QUE sur des domaines simplement connexes, voire même uniquement sur des domaines homotopes à un point...

Je crois me souvenir en effet qu'il faut être sur une partie homotope à un point pour avoir la réciproque, ou peut-être même sur un ouvert étoilé... Mais bon, au vu des posts précédents il me semble que trablazar suit des études de physique, auquel cas il n'y a aucun danger à affirmer que la réciproque est vraie tout le temps ^^

par **trablazar** » 13 Avr 2014, 20:56

Ah ok c'est compris alors !

Oui c'est juste une introduction aux fonction à plusieurs variables pour l'instant ^^

par **trablazar** » 13 Avr 2014, 21:04

Dernière question (par rapport à mes problemes entre implications,équivalences et compagnie):

Si f admet des dérivées partielles continues en

, cela implique-t-il qu'elle est différentiable en

?

par **Ben314** » 13 Avr 2014, 21:39

Oui, ça marche (et ce n'est pas "une évidence" mais bel est bien un théorème un peu compliqué...)

Rotationnel et fonctions à déterminer

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