Rotation d'une matrice

[loic-7]

Bonjour je n'ai pas vraiment compris comment déterminer une rotation, un vissage d'une matrice et par rapport à quel plan. Pouvez vous m'expliquer sur l'un des deux exemples.


M = - 1/9 ( 7 -4 4 )
..............( 4 8 1 )
..............( 4 -1 -8 )



S = 1/7 ( 6 2 -3 )
...........( 2 3 6 )
...........(-3 6 -2 )


Merci de votre aide =)

[sky-mars]

Salut
regarde la nature de la matrice (symétrique ou pas ?)
évalue le déterminant si c'est 1 (pour rotation) , -1 (symétrie composé d'une rotation).
Ensuite si tu as une rotation tu dois la caractériser :
1) axe de rotation c'est le vecteur X telle que AX=X
2) angle , Tr( A) = 1+ 2 cos (@) et le signe de @ sera en fonction de [i,f(i),k] (i=(1,0,0) et f étant l'endomorphisme, k est ton axe)

Pour l'autre cas je m'en rappel plus lol désolé.

[loic-7]

il ne faut pas regarder l'ensemble des points fixes?

[Ben314]

Salut,
Pour ce qui concerne le "deuxième cas", c'est à dire les vissage, en ben en vectoriel (c'est à dire avec des matrices)... ça n'existe pas :

Un petit "rappel" : une translation, ce n'est pas une application linéaire mais seulement une application affine.

Si tu veut montrer qu'une application affine (donc qui ne correspond pas à une matrice) est un vissage, tu commence par regarder l'application linéaire associée (qui elle correspond à une matrice) et tu vérivie que l'application linéaire est bien une rotation. Cela prouve que l'application affine est un vissage dont tu connait déjà l'angle (celui de la rotation) et la direction de l'axe (c'est l'axe vectoriel de la rotation)
Reste à trouver l'axe lui même et le vecteur de translation (qui fait partie de l'axe vectoriel) à l'aide d'un petit calcul...

Résumé : ne pas complètement mélanger affine et vectoriel !!!

[loic-7]

Dans chacun de mes exemples, sachant que chaque déterminant = +1

il suffit de trouver l'ensemble des points qui vérifie AX=X pour trouver l'axe

et de chercher 1 + 2 cos(x) = tr A

pour trouver la valeur de l'angle?

[Ben314]

Oui.
Je rajouterais quand même, que, (à moins qu'une autre information de l'énoncé te permette de t'en passer) la première chose à faire est de vérifier que ta matrice est celle d'une "isométrie vectorielle", c'est à dire qu'elle est bien dans O(3), c'est à dire que les 3 vecteurs colonnes forment bien une base orthonormée (ce qui revient à vérifier que M fois transposé(M) est égal à la matrice identité)
Si ce n'est pas le cas, eh ben... c'est pas la peine d'aller plus loin !!