Vecteurs propres d'une matrice de rotation

[Tia_V]

Bonjour à tous,

Je voudrais calculer les vecteurs propres d'une matrice de rotation selon l'axe z :

cos(alpha) sin(alpha) 0
-sin(alpha) cos(alpha) 0
0 0 1

J'ai déjà trouvé les valeurs propres lambda1=1, lambda2=exp(i*alpha) et lambda3=exp(-i*alpha).

Merci d'avance pour votre aide !

[zygomatique]

salut

tu travailles dans quel espace ?

dans R le seul vecteur propre est celui qui dirige l'axe de rotation

dans C tu cherches donc u tel que f(u) =exp(ia)u ....

[Tia_V]

tu travailles dans quel espace ?

Merci pour ta réponse. Je travaille dans C.

Pour lambda2 (exp(i*alpha)) par exemple, j'ai écrit : [ MAT - exp(i*alpha) * I3 ] X2 = 0.
X2 est mon vecteur propre qui correspond de taille (3,1) à lambda 2,
I3 est la matrice unité de taille (3,3).

Sachant que exp(i*alpha) = cos(alpha) + i*sin(alpha), j'obtiens pour MAT - exp(i*alpha) * I3 :
-i*sin(alpha) sin(alpha) 0
-sin(alpha) -i*sin(alpha) 0
0 0 1-cos(alpha)-i*sin(alpha)

Mais ensuite, je ne sais pas quoi faire...

[zygomatique]

en posant x = (u, v, w) tu calcules Mx et tu résous le système Mu = exp(ia)u ....

qui équivaut bien à (M - I)u = 0

et tu résous un système d'inconnu (u, v, w) ....

[Ben314]

-i*sin(alpha) sin(alpha) 0
-sin(alpha) -i*sin(alpha) 0
0 0 1-cos(alpha)-i*sin(alpha)

Tes deux première ligne, c'est les 2 même (à multiplication par i prés) donc tu en vire une (et c'est normal : tu sait d'avance que le système est dégénéré).
La troisième te donne z=0 (si alpha est non nul, c'est à dire si ta rotation n'est pas l'identité) ce qui est normal
(et d'ailleurs je comprend pas pourquoi tu travaille dans R^3 vu ta matrice de départ : sur l'axe des z elle est "triviale" donc cet axe n'apporte rien...)
Et celle qui te reste, si sin(alpha) est différent de 0 (donc s'il ne s'agit pas d'un demi tour pour lequel la valeur propre -1 est double) tu divise par sin(alpha) et ça te donne -ix+y=0 : tu peut par exemple prendre le vecteur (1,i,0) comme vecteur propre.