Résoudre EDO avec séries de Fourier.

[KKLK]

Bonjour à tous.

Je dois réssoudre l'exercice suivant:

Soient et telles que sont des fonctions -périodiques. Supposez aussi que and vérifient l'équation differentielle:



avec . Trouvez la série de Fourier de en fonction des coéfficients de Fourier de et provez qu'elle converge partout.

Mon travail:





En dérivant terme par terme on obtient:



Donc l'equation différentielle devient:



Par unicité des coéficients de la série de Fourier et.

C'est correct? Je ne suis pas sur que je puisse dériver terme par terme sans le justifier. En plus je sais que les séries de fourier de convergent uniformément car et mais j'ai dérivé 2 fois pour trouver et donc je ne sais plus s'il y a convergence.

Comme vous voyez je suis un peu confendu avec ce sujet. J'apprécierais vraiment quelqu'un pour m'aider.

[zwijndrecht]

Salut,

En fait, ton équation te donne de manière automatique que est encore mieux que : elle est .
En effet, tu as , et donc est de classe (car et le sont).
Tu as donc convergence normale (et donc uniforme) des séries de Fourier associées à et .

Le fait que tu puisses dériver termes à termes résulte de la convergence uniforme de la série associée à (vrai car périodique, continue et par morceaux).
Et le fait de pouvoir dériver termes à termes résulte de la convergence uniforme de la série associée à (vrai car périodique, continue et par morceaux).
(Voir le théorème de dérivation pour les séries de fonctions : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/suites_fonctions/suites_fonctions_ch02/co/apprendre_ch2_07.html#:~:text=C'est%20la%20convergence%20uniforme,terme%20%C3%A0%20terme%20la%20s%C3%A9rie%20.).

[KKLK]

Merci beaucoup!!!