Résolvante compacte

[Sylvain200]

Bonjour,

Pouvez vous m'aider à prouver l'équivalence suivante:

Si A est un opérateur non borné dans un Hilbert de domaine ( est

muni de sa norme du graphe), et tel que l'ensemble résolvant , alors on a

est à résolvante compacte si et seulement si s'injecte d'une manière compacte dans .

Merci d'avance.

[aviateur]

Bonjour
Soit dans l'ensemble résolvant, on note pour simplifier
On a donc est un opérateur borné de H vers D(A).
Soit une suite ds la boule unité de H, la suite est une suite bornée dans D(A) et
si D(A) s'injecte de façon compacte ds H, on peut extraire une sous suite de
qui cv dans H, i.e est un opérateur compact.

La réciproque est du même gabarit.

[Sylvain200]

Merci bien pour votre réponse.

Pourquoi est un opérateur borné de vers ?

Je pense qu'il est borné de dans . Me trompe-je?

Pour montrer que es compact, on doit montrer l'existence d'une sous suite de qui converge dans

ou dans ?

[aviateur]

Rebonjour
Non tu ne te trompes pas. Mais si est borné pour la topologie de H, il l'est aussi pour la topologie de D(A).
En effet

Pour ta seconde question tu veux vérifier que T est compact comme opérateur de H dans H
donc d'une suite x_n bornée dans H tu dois pouvoir extraire une sous-suite Tx_n qui cv dans H

[Sylvain200]

Merci très bien aviateur.

[Sylvain200]

Rebonjour
Non tu ne te trompes pas. Mais si est borné pour la topologie de H, il l'est aussi pour la topologie de D(A).
En effet

Excusez moi aviateur, mais c'est pas ça la norme de .

Ce que vous avez écrit, c'est la norme .

[aviateur]

Rebonjour
Oui effectivement je corrige et dis moi si tu es d'accord.

mais
Donc
Finalement

[Sylvain200]

Bonjour,

Ok je suis d'accord, juste une petite correction c'est au lieu de .

Merci beaucoup.