Compacte et fermé dans ouverts.

[allmess]

Bonjour,
Pourriez vous m'aider pour répondre à la question qui suit? J'arrive assez bien à me représenter la situation, mais j'ai beaucoup de mal à l'écrire correctement:
Soient K un compact et F un fermé (tout deux dans ).
On note f(K,F)=.
On suppose , aussi f(K,F)=0.
Montrer qu'il existe deux ouverts , de tels que et .
Merci d'avance :)

[allmess]

Si je prenait l'ensemble des points de tels que (où est la frontière de K) auxquelles on rajoute K en entier pour cela me semble convenir , si on fait la même chose avec F.. mais cela convient il vraiment ? Et si oui, comment l'écrire?
Merci :)

[Robot]

l'ensemble des points de tels que

Un premier point : ton écriture n'a pas de sens, en tout cas pas celui que tu penses.
La bonne façon d'écrire ce que tu penses est
"l'ensemble des points de tels que "

Ensuite, pourquoi se compliquer la vie ?
L'ensemble des points de tels que (sans rien ajouter) marche bien. Et tu peux faire la même chose pour .

[allmess]

Super, merci :)
Effectivement ma logique était shadokienne ^^
Et bien un ouvert, donc tout vas bien!
Merci!

[Robot]

Avec plaisir.

[zygomatique]

salut

à quoi cela sert-il d'avoir k compact ? (et pas seulement fermé) ...

ne faudrait-il pas dire que d(K, F) > 0 ?

[allmess]

K est compact par énoncé.. mais le résultat est le même avec K fermé je pense..

[Robot]

C'est grâce au fait que est compact et fermé disjoint de qu'on est sûr que . (Exercice : démontrer cette affirmation).

Si on avait simplement deux fermés et disjoints, pourrait être nul : regarder ce qui se passe pour l'axe des et l'hyperbole dans le plan.

[allmess]

Effectivement.. cependant je ne comprend pas à quel moment dans la démonstration de on est amené à utiliser K borné... (il y évidement une erreur dans ma démo..).

[zygomatique]

merci Robot ...

il me semblait bien que l'hypothèse K compact était nécessaire pour la distance non nulle ... mais mes lointains souvenirs ....

l'exemple est tout à fait parlant ...

[allmess]

On montre la contraposé: .
=>):
Supposons . Alors . Or tels que . Contradiction, donc .
<=):
On a et . Aussi , d'où (par définition de l'inf.) .
Voilà ce que je pensait...

[Ben314]

Effectivement.. cependant je ne comprend pas à quel moment dans la démonstration de on est amené à utiliser K borné... (il y évidement une erreur dans ma démo..).

Le sens => est totalement trivial.
Dans le sens <= il y a (au moins) deux solutions :
- Soit tu commence par montrer un résultat bien utile, à savoir que si A est une partie quelconque de R^n, la fonction x -> d(x,A) = inf{|x-a| pour a dans A} est continue et tu conclue en utilisant le fait que toute fonction définie sur un compact et à valeur réelle atteint ces bornes.
- Soit tu le fait "à la main complet" en montrant la contraposée, à savoir que, si l'inf. est nul alors l'intersection est non vide et tu part du fait que si l'inf. est nul, ça signifie qu'il existe une suite (xn,yn) de KxF telle que |xn-yn|->0.
La compacité de K te dit alors que tu peut extraire de la suite (xn) une sous suite (x'n) convergente vers un certain x de K et, si on note (y'n) la sous suite de (yn) correspondante, du fait que x',->x et que |x'n-y'n|->0, tu déduit que y'n->x ce qui, vu que F est fermé, montre que x est dans F.

[allmess]

c'est mieux comme ça, merci !

[Ben314]

SInon, ça :

Or tels que .

C'est du "GRAND n'importe quoi" : le B.A.BA de la compréhension de ce qu'est la borne sup (ou la borne inf) d'une partie de R, c'est de comprendre que ce n'est pas forcément atteint : inf(]0,1[)=0 qui n'est pas dans ]0,1[.

Par contre là :

On a et . Aussi , d'où (par définition de l'inf.) .

Tu ne fait que "brasser du vent", c'est à dire écrire des banalités absolues (au risque de finir par écrire des conneries...).
Si tu tient vraiment à écrire quelque chose, il suffit de dire que la partie de R dont on prend l'inf. contient 0 est qu'elle est évidement contenue dans R+. Moins tu en écrit, plus ça montre que tu as compris que cette implication là était totalement évidente (et qu'elle ne demande aucune hypothèse concernant la nature de K et de F contrairement à l'autre sens où tout est utile).