Résolution d'une équation

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Trouver toutes les matrices circulantes ( à coefficients inconnues : et dans ) qui vérifient l'équation :

avec : une matrice circulante fixé ( i.e : à coefficients et dans fixés ).
avec : et et .


Merci d'avance :happy3:

[Ben314]

Salut,
Sauf erreur, l'e.v. des "matrices circulantes" est engendré par où et, vu que , c'est en fait la sous algèbre engendrée par S.
Il te suffit donc d'écrire toutes tes matrices dans cette base et tu obtient immédiatement un système de 3 équations (non linéaires) en

[barbu23]

Bonsoir @Ben314 : :happy3:
Dur dur ce que tu m'expliques. C'est trop dur. :hum:
Je ne comprends pas comment on aboutit à un système à équations non linéaires en à partir de l'équation que j'ai donnée Peux tu être un peu plus précis @Ben314 ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

ça :

ça peut se récrire

Tu développe en tenant compte que , , ,... puis tu identifie les coeffs vu que est libre

[barbu23]

Ah d'accord :
Merci beaucoup. :happy3:

[barbu23]

@Ben314 : :happy3:
Moi, j'ai un autre façon de voir les choses :
Mais, d'abord, je voudrais savoir si les matrices circulantes commutent entre elles ?
Sinon, est ce que commutent avec les matrices circulantes ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

@Ben314 : :happy3:
Moi, j'ai un autre façon de voir les choses :
Mais, d'abord, je voudrais savoir si les matrices circulantes commutent entre elles ?
Sinon, est ce que commutent avec les matrices circulantes ?
Merci d'avance. :happy3:

S est une matrice circulante. Et comme toute les matrices circulantes font partie de la sous algèbre engendrée par S, elles commutent entre elles.

Autre façon de voir qu'elles commutent entre elles : M est "circulante" ssi elle commute avec S :

[barbu23]

S est une matrice circulante. Et comme toute les matrices circulantes font partie de la sous algèbre engendrée par S, elles commutent entre elles.

Autre façon de voir qu'elles commutent entre elles : M est "circulante" ssi elle commute avec S :

D'accord, merci beaucoup. :lol3:
Alors, je t'explique comment :


implique, après développement, que :



Celà implique que :



Après identification terme par terme suivant la base : , on aboutit au système d'équations :

Ce dernier système ressemble aux systèmes de Viète pour l'équation matricielle :

Quelles sont les solutions à ce genre d'équations matricielles algébriques ?
Ont -t-elles une méthode algébriques de résolutions ?
Elles sont l'analogue des équations qu'on sait résoudre, qui se mettent sous la forme : , dans , non ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Il faut écrire TOUTES tes matrices en fonction de S=C(0,1,0) et pas uniquement la moitié d'entre elles vu qu'à la fin, c'est des égalités entre coefficients devant les matrices (donc des scalaires) qui devront être égaux !!!
Par exemple, ta matrice elle vaut

Ce qu'il faut que tu développe, c'est ce que je t'ai mis dans le post de 19h36 (2em ligne)

[barbu23]

Merci. :happy3: