Résolution d'une équation, math PCSI..

par **d0n** » 24 Sep 2006, 11:41

Bonjour à toutes et à tous !
Voila, J'ai quelques exercices à finir pour la semaine prochaine, dont celui-ci :
Résoudre l'équation suivante pour tout n > 2 :
1 + 2z + 2z² + ... + 2 z^(n-1) + z^n =0
J'ai commencé par écrire 2z + 2z² + ... + 2 z^(n-1) sous la forme 2 ((1-z^n)/(1-z^(n-1)).. Mais après, je ne vois plus trop quoi faire de ce bazar..
Une p'tite idée ?
Merci ! :we:

par **Flodelarab** » 24 Sep 2006, 11:52

d0n a écrit:Bonjour à toutes et à tous !
Voila, J'ai quelques exercices à finir pour la semaine prochaine, dont celui-ci :
Résoudre l'équation suivante pour tout n > 2 :
1 + 2z + 2z² + ... + 2 z^(n-1) + z^n =0
J'ai commencé par écrire 2z + 2z² + ... + 2 z^(n-1) sous la forme 2 ((1-z^n)/(1-z^(n-1)).. Mais après, je ne vois plus trop quoi faire de ce bazar..
Une p'tite idée ?
Merci ! :we:

Tu t trompé, non ?

exercice classique de complexe, non ?

determine module et argument de z

par **Flodelarab** » 24 Sep 2006, 11:55

Au fait, avant de faire ça, tu auras bien pris soin de vérifier que z=1 n'est pas solution ...

par **tize** » 24 Sep 2006, 12:35

1 n'est pas solution ...

equivalent à :

équivalent à :

Donc

est soit une racine de l'unité différente de 1 soit (en divisant pas

)

par **Flodelarab** » 24 Sep 2006, 12:55

tize a écrit:1 n'est pas solution ...
equivalent à :
équivalent à :

Donc est soit une racine de l'unité différente de 1 soit (en divisant pas )

Ahhhhhhhh
J'avais zappé le manque de facteur 2 au dernier terme. Ma proposition est fausse

par **Aspx** » 24 Sep 2006, 13:09

Oui mais si n est pair tu peux pas diviser par

:hein:

par **tize** » 24 Sep 2006, 13:13

En fait c'est compris dans mon raisonnement car si n est pair alors -1 est aussi une racine de l'unité !
Les racines sont donc {racines de l'unité privées de 1}U{-1} l'union étant parfois (si n pair) sans intéret...

par **Aspx** » 24 Sep 2006, 13:37

Ok je t'avais mal lu ! J'ai cru que tu disais que -1 était toujours solution :euh: . Hâte de voir ces histoires de racines de l'unité en cours, j'y suis quasiment on attaque les complexes :we:

par **tize** » 24 Sep 2006, 13:51

No problemo, j'ai pas super bien rédigé non plus ...

par **d0n** » 24 Sep 2006, 15:26

Ah ben c'est p'tetre pour ca que j'y arrive pas.. On a pas commencé les complexes :id:
Merci à vous tous !

par **Aspx** » 24 Sep 2006, 15:47

equivalent à :

équivalent à :

équivalent à (z diff de 1) :

équivalent à :

(racines de l'unité différentes de 1) ou

.
PS : z est complexe dans l'exo ? Si non alors seul -1 est solution biensur.

par **d0n** » 24 Sep 2006, 16:12

Merci ! Juste une chose m'échappe.. D'où sors le -1 mis entre parenthèse avec (1-z^n)/(1-z) ?
Dans l'énoncé, z n'est pas un complexe..
Merci encore ! :++:

par **tize** » 24 Sep 2006, 16:16

c'est la somme des termes d'une suite geométrique qui commence à z et non pas à 1=z^0 on fait donc comme si elle commence à 1 (en ajoutant 1), on applique la formule puis on enlève le 1 qui de trop d'ou le -1

par **d0n** » 24 Sep 2006, 16:18

Oui, c'est vrai au temps pour moi.. Et merci à vous tous !

Résolution d'une équation, math PCSI..

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