Résolution d'équation du troisième degré (Cardan)

[Mamadouap]

Bonjour à tous,

J'ai une équation assez simple à résoudre :
x³+x²+x+21=0
Il parrait évident qu'une solution réelle est -3 et en factorisant avec Horner on trouve
(x+3)(x²-x+7)=0
La seconde partie de l'équation n'ayant pas de solutions réelles, l'unique solution est donc x=-3

Maintenant par la méthode de Cardan (me basant sur les définitions de Wikipédia - http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan -) :

p=-(b²/3a²)+(c/a)=-(1/3)+(1)=2/3~0,6667
q=(2b³/27a²)-(bc/27a²)+(d/a)=(2/27)-(1/27)+(21)=560/27~20,7407
Le discriminant Delta=q²+4p³/27~430,2222

Delta étant positif il n'y a qu'une seule solution réelle valant u+v avec
u=((-q+(delta)^(1/2))/2)^1/3=((-20,7407+(430,2222)^(1/2))/2)^1/3~0,09556
v=((-q-(delta)^(1/2))/2)^1/3=((-20,7407-(430,2222)^(1/2))/2)^1/3~-2,7475
u+v~-2,6667

or -3 =/= -2,6667

J'ai du faire une ou plusieurs erreurs, ça serait aimable de me les indiquer,

Merci d'avance !

[Black Jack]

Bonjour à tous,

J'ai une équation assez simple à résoudre :
x³+x²+x+21=0
Il parrait évident qu'une solution réelle est -3 et en factorisant avec Horner on trouve
(x+3)(x²-x+7)=0
La seconde partie de l'équation n'ayant pas de solutions réelles, l'unique solution est donc x=-3

Maintenant par la méthode de Cardan (me basant sur les définitions de Wikipédia - http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan -) :

p=-(b²/3a²)+(c/a)=-(1/3)+(1)=2/3~0,6667
q=(2b³/27a²)-(bc/27a²)+(d/a)=(2/27)-(1/27)+(21)=560/27~20,7407
Le discriminant Delta=q²+4p³/27~430,2222

Delta étant positif il n'y a qu'une seule solution réelle valant u+v avec
u=((-q+(delta)^(1/2))/2)^1/3=((-20,7407+(430,2222)^(1/2))/2)^1/3~0,09556
v=((-q-(delta)^(1/2))/2)^1/3=((-20,7407-(430,2222)^(1/2))/2)^1/3~-2,7475
u+v~-2,6667

or -3 =/= -2,6667

J'ai du faire une ou plusieurs erreurs, ça serait aimable de me les indiquer,

Merci d'avance !

Pour faire cela, tu as posé x = z - b/(3a)

et ce que tu viens de trouver avec le u+v, c'est la valeur de z

Tu as donc z = -2,6666...

Et on calcule alors x = z - b/(3a)
Avec dans le cas de l'exercice a = b = 1

---> x = -2,6666 ... - 1/(3*1) = -3

:zen:

[Mamadouap]

Effectivement, j'avais totalement zappé cette étape.

Merci, problème résolu ;)