Résolution d'équation algébrique du troisième degré

[babeth107]

Bonjour, voici un exercice où je n'arrive pas à avancer.
Je vous remercie d'avance pour votre aide :

1. On considère l'équation x^3+ax²+bx+c=0, P(X)=X^3+aX²+bX+c
a) trouver un réel alpha dépendant de a,b,c tel que le coefficient du terme du degré deux du polynome Q(X)=P(X+alpha) soit nul
b)On note Q(X)=X^3+pX+q. Exprimer p et q en fonction de a,b,c

2. Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur p et q pour que le polynome Q possède dans C une racine au moins double. Résoudre l'équation (e'): Q(x)= 0 dans ce cas.

3. On suppose que la condition trouvée au 2) n'est pas vérifiée et on veut résoudre (e')
a) montrer que tout complexe x peut se mettre sous la forme x=u+v où v et u sont des complexes vérifiant la condition 3uv+p=0

b) montrer que si x est solution de (e'), u^3 et v^3 sont racines z1 et z2 d'une équation de second degré que l'on formera

c) déduire les solutions (e') en distinguant les cas 4p^3+ 27q²>0 et 4p^3+ 27q²<0

d) dans quel cas les racines sont elles toutes réelles ? Comparer avec l'étude des variations de Q

4. Application : résoudre dans C l'équation x^3-3x²-3x-1=0


Ce que j'ai fais :
1 a) j'ai developpé P(X+alpha) = X^3+X²(3alpha+ a)+ X(3alpha²+ 2alpha*a+b)+alpha^3+a*aplha²+balpha+c

Je veux donc avoir 3aplha + a = 0 mais je ne sais pas comment continuer

2. Si racine r est au moins racine double : Q(r)=O Q'(r)=0
donc r^3+pr+q=0 et 3r²+ p =0 mais pareil je suis bloquée



MERCI D'AVANCE

[Robot]

trouver un réel alpha dépendant de a,b,c tel que ....

Je veux donc avoir 3alpha + a = 0 mais je ne sais pas comment continuer

[babeth107]

aplha = -(a/3)

[Robot]

Ben continue ...

[babeth107]

mais justement je ne vois pas quoi faire

[Robot]

Traiter la question 1 b) : avec le que tu as trouvé,

[babeth107]

d'accord, j'ai trouvé que p =( -(a^3/27) - (2a²/3 + b))
et q = - (4a^3 / 27) - (ba/3) +c

[babeth107]

Pour la suite j'ai trouvé cela : Si racine r est au moins racine double : Q(r)=O Q'(r)=0
donc r^3+pr+q=0 et 3r²+ p =0

Donc r^3 + ( -(a^3/27) - (2a²/3 + b)) x r - (4a^3 / 27) - (ba/3) +c = 0
et 3r² + ( -(a^3/27) - (2a²/3 + b)) =0

[Robot]

Non, tu dois maintenant travailler uniquement avec p et q. A partir de tes deux équations en p,q,r, tu dois éliminer r pour arriver à une seule relation algébrique entre p et q.

[babeth107]

je ne vois pas comment je pourrais éliminer r:
faut il procéder avec la technique L2 = L2-L1 ?