Résolution d'équation faisant intervenir la trace d'une matr

[Edward]

Bien le bonjour.

Je bloque sur une question d'un exercice :
Soient A et B dans Résoudre l'équation
.

Au préalable, on a montré que les formes linéaires f sur vérifiant étaient de la forme .

J'ai commencé par appliquer la fonction Trace à l'égalité, on obtient . Après avoir éliminé les cas triviaux, j'arrive au cas où et . Et là, tout ce que j'arrive à trouver est
Mais je n'arrive pas à aller plus loin. Donc soit je loupe quelque chose, soit c'est l'approche qui est mauvaise (le fait d'appliquer la fonction Trace à légalité).

Quelqu'un aurait-il une idée ?

[The Void]

Salut,
On a alors

[euler21]

. Après avoir éliminé les cas triviaux, j'arrive au cas où et . Et là, tout ce que j'arrive à trouver est

d'après la réponse #2 et dans le cas que tu as traité, tu as trouvé la trace de X en fonction de la trace de A et de la trace de B reste maintenant à traiter les autres cas à savoir trace(A) = 1.

[Edward]

Merci pour vos réponses. En effet j'étais passé à côté de quelque chose d'assez évident... Bref je viens de boucler l'exo donc tout va bien.
merci encore

[euler21]

je peux savoir comment tu as fait pour le cas tr(A)=1 et tr(B)=0 ?

[Edward]

J'aller justement poster qu'en fait il me manquait ce cas là ... je m'y colle

[euler21]

dans ce cas, c'est à dire tr(A)=1 et tr(B)=0 , l'équation admet au moins une solution qui est B.

[Edward]

En effet. La ça devient vraiment compliqué. Peut-être peut-on utiliser la question précédente mais si c'est le cas je vois pas comment...

[euler21]

Je pense qu'il faut revenir aux structures d'espaces affines dans ce cas.
Si on regarde juste l'équation X=tr(X)A; l'ensemble des solutions est un espace vectoriel non trivial puisqu'il contient ; car tr(A) =1.
Si on note F ce sous espace ventoriel, l'ensemble des solutions est de la forme F+B.
Le problème c'est est ce qu'on peut déterminer cet espace en fonction de A

[euler21]

Pour la détermination de F, il faut juste voir que c'est en effet vect(A), :we:
ainsi l'ensemble des solutions dans le cas où tr(A)=1 est vect(A) +B

[Edward]

Comment sait-tu que X=Tr(X)A n'admet pas de solutions qui n'appartiennent pas à vect(A) ?

[euler21]

Ben il suffit juste de lire l'équation:
on sait déjà que l'ensemble des solutions est un ev ; et que A y appartient car tr(A)=1; donc vect(A) est inclus dans F; de plus si X est solution ; elle s'écrit tr(X)A , donc elle s'écrit comme produit d'un scalaire qui est tr(X) fois A. et donc elle appartient nécessairement à vect(A) . d'où la double inclusion .

[Edward]

haaaaaaaa ok :++:
Merci pour tout ^^