Représentation et table de caracteres

[Azuriel]

Bonjour !

Dans un exercice où l'on cherche a construire la table de caractère de G=GL(F3).

Ce groupe transforme une droite vectorielle en droite vectorielle ; il agit donc sur l'ensemble de droite a 4 elements : delta1, delta2...delta4 engendrées respectivement par e1,e2, e1+e2, e1-e2. On a donc utilisé un morphisme sigma de G dans S4 tel que soit g.delta(i)=delta(sigma(g)(i)).

Cela nous permet donc de construire une partie de notre table de caractere a partir de la table de caractere de S4 qu'on nous donne.

Ker sigma = {+I, -I}.

Plus tard dans l'exercice on cherche a trouver une autre representation irréductible.

On Montre que si V est une représentation de G alors V peut s'écrire V=V+ + V- où V+ est le sous espace propre associé a la valeur propre 1 du representant de (-I) dans notre representation et V- lespace associé a -1.

Donc si V est irréductible, on a donc soit V=V-, soit V=V+.

Mais mon prof a dit à un de mes camarades que pour justifier que V était nécessairement égale a V- c'est que si V=V+ alors cela voudrait dire que -I agirait par 1 sur V et donc Ker Sigma={+I, -I} agirait de maniere triviale sur V ce qui ferait que V serait deja une des représentations de S4 qu'on a déjà trouvé. Pourquoi cela car là on s'intéresse qu'au noyau... Merci de m'expliquer.