Relation d'Equivalence

[yagami]

bonjour,

Je bloque sur cette exercice:

Soit X={a,b,c,d,e} et Y={a,b,c}. R la relation binaire définie sur P(x) par MRN M=N.

Soient les parties A={a,b,d} , B={a,b,e},C={a,d,e}.

Quelle est A barre la classe de A ?


Merci.

[Ben314]

Salut,
C'est le type d'exercice fait uniquement pour se familiariser avec les définitions et rien d'autre.
Donc :
- C'est quoi la définition de "la classe d'un élément suivant une relation (d'équivalence)"

Et, a mon sens, ça aurait été plus que pas con de faire précéder cette question de la question :
Montrer que R défini une relation d'équivalence sur P(X).
donc commence par montrer ça ce qui demande uniquement à savoir :
- C'est quoi la définition d'une "relation d'équivalence" ?

[yagami]

Oui , avant cette question , on demander de montrer que R est une relation d'équivalence.
Cependant j'ai du mal a montrer la relation d'équivalence.

-réfléxive pour tout A X on a :
A Y={a,b} donc ARA , donc réfléxive.
réfléxive pour tout B X on a :
B Y={a,b} donc ARA , donc réfléxive.

-symétrique pour tout A,B X on a :
AY=BY={a,b} donc ARB BRA donc symétrique.

-transitive pour tout A,B,C X on a :
AY=BY=YC donc ARB et ARC

Comme on a ARB et ARC on pourrais conclure que la relation R est transitive.

Le problème étant que par transitivité AY=BY=YC , n'est pas égal car AY=BY={a,b} et YC={a}
Comme une relation d'équivalence est a la fois : réfléxive,symétrique,transitive.
Sa ne peut pas être une relation d'équivalence car la relation R n'est pas transitive.


Admettons que R soit une relation d'équivalence :

Pour ma question A barre est elle la classe de A :

Abarre={ {a,b} , {a,b,d}, {a,b,e} , {a,b,d,e} }

Mais comme A barre c'est l'ensemble des classes qui vérifie AY=BY
On pourrais avoir A³A³ , ABC, ou encore
ABC,AB,AA,BB.

Je ne comprend pas la question : Quelle est A barre la classe de A.

[Pseuda]

Bonjour,

La relation R est bien transitive. Réfléchis un peu plus (c'est immédiat, ça s'écrit en une demi-ligne). Je n'ai pas lu la suite.

La classe de A, que tu appelles A barre, ou cl(A), ou ... etc, est l'ensemble des éléments M de P(X) tels que ARM est vérifiée.

[yagami]

transitivité pour tout A,B,C, X si ARB et BRC, alors si ARB et BRC donc ARC, donc transitive.

[Pseuda]

Cela ne montre rien. C'est juste l'énoncé que la relation est transitive. Il faut utiliser évidemment la définition de la relation pour montrer qu'elle est transitive.

[Ben314]

-réfléxive pour tout A X on a :
A Y={a,b} donc ARA , donc réfléxive.
réfléxive pour tout B X on a :
B Y={a,b} donc ARA , donc réfléxive.

Déjà, ça :
- C'est complètement faux : si on prend A au pif dans P(X), il n'y absolument aucune raison que AnY soit égal à {a,b}, par exemple, si A=, c'est clair que c'est faux.
- Ton "donc ARA", il est sans queue ni tête vu que ce que tu as écrit avant n'a rien a voir avec le fait que ARA.
La définition de la relation R, c'est que MRN <=> MnY=NnY donc ARA est vrai lorsque AnY=AnY et c'est évidement vrai pour toute partie A de X.
- C'est quoi ce charabia consistant à écrire deux fois comme conclusion que "R est réflexive" :
Si ce que tu compte faire c'est de proposer deux preuves du même résultat, ben faut le signaler.
Et si tu pense que pour montrer que quelque chose est vrai il faut en donner systématiquement deux démonstrations, c'est que tu as rien compris à ce qu'était une démonstration.

-symétrique pour tout A,B X on a :
AY=BY={a,b} donc ARB BRA donc symétrique.

Même remarques : si on prend A et B dans P(X), ben il n'y a aucune raison que AnY=BnY, il n'y a aucune raison que AnY={a,b}, aucune raison que BnY={a,b}, aucune raison que ARB et aucune raison que BRA. De plus le fait que AnY={a,b} ou que BnY={a,b} n'a aucun rapport avec le fait que ARB ni avec le fait que BRA.

-transitive pour tout A,B,C X on a :
AY=BY=YC donc ARB et ARC

Toujours autant du grand n'Importe Quoi (avec un I et un Q majuscule...) vu que tu écrit qu'en prenant A,B,C quelconques dans X, on a forcément ARB et BRC ce qui est évidement complètement faux.
Montrer qu'un relation est transitive, ça signifie démontrer que, si on a ARB et BRC alors on a forcément ARC et c'est bien clair que si tu n'utilise pas les hypothèse ARB et BRC (en particulier si tu les écrit même pas), ben tu risque pas de démontrer quoi que ce soit.

[yagami]

1) Montrons la relation d'équivalence MRN M=N.

Soient M,N,O P(x)

M=N MRM est réfléxive.
MRNMY=NY
NY=MYNRM ,R est symétrique
MRN et NRO M=N et N=O donc M=O MRO donc R est transitive.
Donc R est une relation d'équivalence.

2) A(barre) la classe de A

Soit M A(barre) MRA M=A={a,b}. A(barre) contient les ensembles contenant a et b mais pas c.
A(barre)={ {a,b} , {a,b,d}, { a,b,e} , {a,b,d,e} } 

merci Pseuda,Ben314.