Relation d'équivalence (niveau PSCI)

[minipouss]

Bonjour, je suis archibloquée sur un problème.
Si quelqu'un pouvait me donner quelques idées et astuces pour me débloquer dans les démonstrations çe serait vraiment génial.

Voici le problème :
Soit E, un ensemble non vide,

Partie 1

R une relation d'équivalence. Soit x€E on considère le sous ensemble noté cl(x) défini par cl(x)={y€E,xRy} c'est à dire l'ensemble des éléments qui sont en relation avec x, on l'appelle classe d'équivalence de l'élément x pour la relation R.

1. Montrer que cl(x) est toujours non vide
2.Montrer que pour tout (x,y)€E² xRy ssi cl(x)=cl(y)
3.Montrer que 2 classes d'équivalences cl(x) et cl(y) sont donc soit égales soit disjointes
4. En déduire que les classes d'équivalence forment une partition de l'ensemble E.

Partie 2

Soit R binaire définie sur l'ensemble des réels par xRY <=> (x^3+2)(y^2+1)=(y^3+2)(x^2+1)

1. Montrer que R est une relation d'équivalence sur R
2. Préciser, suivant la valeur de x, le nombre d'élément que contient la classe du réel x

Partie 3

On se place dans Z. Soit n€N. On définit sur Z la relation appelée congruence modulo n par :
pour tout x,y€Z², x congru y mod n <=> n divise y-x

1. Montrer que congru est une relation d'équivalence sur Z
2. Montrer que toute la classe d'équivalence possède un unique représentant dans [0,n-1]
Combien la relation possède t'elle de classes d'équivalence?
3. Montrer que x congru y mod net x' congru y' => (x+x' congru y+y' mod n) et (xx' congru yy' mod n)

Ceci est mon premier exercice sur les relation d'ordre et je ne sais absolument pas comment faire les démonstrations! Bref j'ai vraiment besoin d'aide...

[Imod]

Sur quelle question bloques-tu exactement ( le début est vraiment très simple ) ?

Imod

[minipouss]

le début simple?! :hein: La partie 1, je l'ai plus ou moins faite.
Je bloque sur la partie 2 et la partie 3. Je ne sais pas comment prouver que R est symétrique par exemple. Je connais le cours mais comment l'adapter à cette situation?

[Imod]

Pour montrer la symétrie de R tu écris ce que signifie yRx et tu verras que c'est la même chose que xRy donc xRy => yRx . La transitivité n'est pas plus difficile . Par contre pour trouver le nombre d'éléments par classe il faut faire une étude détaillée de la fonction .

Imod