Relation d'équivalence.

[Deluxor]

Bonjour,


Voici un exercice d'annale de concours que j'essaie de résoudre (rigoureusement, si possible... :hum:)

Soit et deux éléments de .
Soit .
Déterminer si la relation : " et ont même reste quand on les divise par " est une relation d'équivalence.

Ce que j'ai fait :

Soit , ,
Soit

La relation est une relation d'équivalence. En effet :

- elle est réflexive : est en relation avec lui-même ; il a un reste unique dans la division par

- elle est symétrique : si est en relation avec , c'est-à-dire si et ont le même reste dans la division par , alors et ont aussi le même reste dans la division par , et ainsi est en relation avec

- elle est transitive : si x est en relation avec y, et y avec z, alors x est en relation avec z.


Est-ce juste? Je ne voyais pas comment le faire "mathématiquement"...


Merci d'avance!

[Nightmare]

Salut,

tu ne démontres malheureusement pas grand chose. Il faudrait, à un moment, utiliser la définition de la notion de reste!

[Deluxor]

Salut,

tu ne démontres malheureusement pas grand chose. Il faudrait, à un moment, utiliser la définition de la notion de reste!

Salut Nightmare,

C'est bien ce que je pensais...

Dans la plupart des exos "classiques", il y a souvent une relation qu'on note . Comment la définir ici?

[Nightmare]

Elle est définie dans ton énoncé :

xRy lorsque x et y ont le même reste dans la division euclidienne par q.

Une autre interprétation de cette définition serait :

xRy lorsque q divise x-y.

Es-tu d'accord que cette définition est bien équivalente à la précédente?

[alm]

Salut,
Tu peux aussi considérer l'application par : on désigne par le reste de la division euclidienne de par (on justifie l'existence de cette application à l'aide du théorème concernant la division euclidienne)
La relation devient :