Relation entre sup(A.B) et (supA)*(supB)

[zouzou8]

Bonjour le forum,

Voici mon casse-tête du moment ...

Soit A et B deux parties bornées et non vides de R.
On note A.B={a.b | a élément de A, b élément de B}
Nous devons montrer par des contre-exemples qu'il n'y a pas de relation particulière entre sup(A.B) et (supA)*(supB).

Je cherche donc un exemple où :
- sup(A.B) = (supA)*(supB) : fait, avec A=B=[0;1]
- sup(A.B) > (supA)*(supB) : fait, avec A=B=[-1;0]
- sup(A.B) < (supA)*(supB) : aucune idée !

Pourriez-vous m'indiquer une piste ?

Merci pour vos réponses !

[aviateur]

Bonjour
A ton avis, si par hasard , penses-tu pouvoir trouver un exemple dans ton 3ème cas?

[zouzou8]

Bonjour
A ton avis, si par hasard , penses-tu pouvoir trouver un exemple dans ton 3ème cas?

Bonjour Aviateur !

Justement, en cherchant pour cet exercice et en ne trouvant pas d'exemples pour le 3ème cas, j'ai fait un bout de code en Python qui me génère des couples d'intervalles bornés non vides aléatoirement. J'en arrive à croire que quelque soit A et B bornés non vides, (aucun contre-exemple sur 1000 simulations).

Mais comme l'énoncé propose qu'il n'existe pas de relation particulière entre sup(A.B) et (supA)*(supB), et qu'on doit fournir des exemples pour cela pour confirmer cela, je suis perplexe ... D'un côté, 1000 simulations sans jamais , et de l'autre l'énoncé qui indique qu'il n'y a pas de relation particulière ...

Si A et B avaient été seulement majorés, pas de problème pour montrer qu'il n'existe pas de relation particulière (en tout cas, il me semble avoir trouvé des exemples cohérents) ; mais là, ils sont tous les deux annoncés bornés.

Plus j'y pense et moins cela me semble intuitif qu'il puisse y avoir A et B bornés non vides tel que . Mais j'ai des doutes sur la qualité de mes intuitions

[Ben314]

Salut,
Perso, je partirais principalement de ce que tes deux premiers exemple montre clairement : ce qui fout la merde, c'est les négatifs.
Bref, si A=[a,b] avec a<b<0 et que B=[c,d] avec 0<c<d, c'est quoi sup(A).sup(B) ? et sup(AB) ?

[aviateur]

Rebonjour
La première chose à faire c'est la démo.
Soit une suite de A qui cv vers sup(A) et une suite de B qui cv vers sup(B). Alors définit une suite de AB qui converge vers sup(A) sup (B). Ceci implique que . C'est pas la peine d'aller voir plus loin.

[zouzou8]

Salut Ben,

Je reprends tes notations : A=[a,b] avec a<b<0 et B=[c,d] avec 0<c<d.
On a alors :
i) sup(A).sup(B)=b.d (< 0)
ii) sup(AB)=b.c (< 0)
Comme c<d et b<0, cela implique : b.c>b.d, soit sup(AB)>sup(A).sup(B).

C'est correct ?

Edit : message croisé avec Aviateur Merci pour ton explication