Relation binaire - Equivalence

[Dylaa2n]

Bonjour,

On me donne la relation avec n un entier positif.

Je dois démontrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence, et donc que la relation est réflexive, symétrique et transitive.

Pour la réflexivité, ca va. Par contre, pour démontrer qu'elle est symétrique, je me pose la question suivante:

Quand je prends et que je dois montrer que est vérifié, si alors est-ce que le k et le n seront les mêmes quand je ferai ou pas du tout?

Selon moi, le k et le n peuvent changer..mais je ne suis pas sûr parce qu'alors ca me semble trop facile...

Pour être plus clair: quand on doit vérifier si une relation est symétrique, cela veut juste dire que si est vérifié, alors est aussi vérifié, peu importe les données k et n ?

Merci

[zaidoun]

Si j'ai bien compris votre relation x R y s'il existe un réel k et un entier n tel que x-y =kn
c'est ça?
si le cas, donc la relation est symétrique car y-x= -kn donc on a trouvé un réel qui est -k et un entier positif qui est n.

[mrif]

Il manque une donnée fondamentale: x et y sont dans quel ensemble?
Il manque également une précision importante: n, est-il fixé? je suppose que oui.

[Ben314]

Salut,

avec n un entier positif.

Si c'est effectivement ça la définition, avec un "il existe x réel tel que...", alors le n ne sert a rien, sauf s'il est fixé une bonne fois pour toute comme étant nul auquel cas la relation en question, c'est l'égalité.
Dans les autres cas (n non nul fixé ou a déterminer), dire qu'il existe un réel k tel que ???=nk, c'est exactement la même chose que de dire qu'il existe un réel k' tel que ???=k', c'est a dire plus simplement que ??? est réel.
Si x et y sont des réels, c'est donc sans le moindre intérêt et si c'est par exemple des complexes, ça serait plus simple décrire simplement Ré(x)=Ré(y).

Donc a mon avis, la définition de la relation R, ce n'est pas ça, mais plutôt "xRy il existe n dans Z tel que y-x=nk" où k est un réel fixé une bonne fois pour toute par l'énoncé.

[Dylaa2n]

En effet, j'ai oublié de préciser que x et y sont deux éléments de . Je crois également que n est fixé vu qu'on me dit :

avec n un entier positif

Donc, d'après ce que j'ai compris en lisant vos commentaires, je peux dire qu'il s'agit d'une relation d'équivalence car :

1) pour tout élément , on a avec k=0
La relation est donc réflexive
2) pour tout éléments vérifiant , on a et est aussi vérifié car donc k' = -k
La relation est donc symétrique
3)pour tout éléments vérifiant et , on a et , donc on a et donc et est vérifié
La relation est transitive

Est-ce que je raisonne bien??
Merci :happy2:

[MMu]

... :zen:

[mrif]

En effet, j'ai oublié de préciser que x et y sont deux éléments de . Je crois également que n est fixé vu qu'on me dit :

avec n un entier positif

Donc, d'après ce que j'ai compris en lisant vos commentaires, je peux dire qu'il s'agit d'une relation d'équivalence car :

1) pour tout élément , on a avec k=0
La relation est donc réflexive
2) pour tout éléments vérifiant , on a et est aussi vérifié car donc k' = -k
La relation est donc symétrique
3)pour tout éléments vérifiant et , on a et , donc on a et donc et est vérifié
La relation est transitive

Est-ce que je raisonne bien??
Merci :happy2:

Parfait.
Il suffisait de fixer les hypothèses et tout s'éclaire.

[Dylaa2n]

Parfait.
Il suffisait de fixer les hypothèses et tout s'éclaire.

C'est vrai, merci! :happy2: