Régression non-linéaire (fonction puissance)

[Nicolas2012]

Bonsoir,

y'a un moment que j'étais pas venu :happy2:
Voilà mon soucis, j'ai refait la semaine dernière des régression non-linéaires et autant la fonction exp et log ne me posent pas de problème, autant j'ai eu du mal avec l'ajustement puissance.

Pour une raison simple, log et exp, on a une seule variable, alors que l'ajustement puissance en exige 2 donc pour comprendre, rien ne vaut un exemple, scénario:

Prix de vente: 5 10 15 25 35 45
Qté vendue: 140 000 - 35 000 - 15 500 - 5 500 - 3 000 - 1 500

on voit sur le graph qu'il est préférable d'ajuster en non-linéaire, ici, clairement, le graph prend la forme d'une progression de forme "puissance" puisqu'on passe d'un coef. de corrélation de -0.7 à quasi -1, la perfection :ptdr:
je trouve donc la droite de régression suivante (Excel): Y' = -2.0309X' + 15.138 (avec Y' = log(y))

après calcul, j'arrive sur:

y = 3 752 752 x e^(2.0309X')

et c'est là où le bât blesse... il reste X' contrairement à l'ajustement exponentiel. Donc ma question est la suivante: comment arriver à "redescendre" X' pour retrouver x?

Merci d'avance! Bonne soirée :happy2:


Nicolas

[zygomatique]

salut

je ne comprends pas ta question ...

par définition un ajustement "puissance" est de la forme où a et b sont deux réels ...

[Nicolas2012]

>par définition un ajustement "puissance" est de la forme où a et b sont deux >réels ...[/quote]

Bonsoir zygomatique,

OK, soit, partons du postulat que j'ai tout faux. Alors dis-moi, si tu fais l'exercice, que trouves-tu pour x et y stp? Et si possible, peux-tu m'expliquer la méthodologie?

Car sauf si j'ai vraiment rien compris :marteau: , tu passes aux "log" et donc tu as "log x" et "log y", mais après, comment fais-tu pour arriver à la conclusion, x = ? et y = ? avec tes explications si possible. Car pour "log y", pour arriver à y, je passe par la "fonction" exp mais comment fais-tu pour x?

Nicolas

[WillyCagnes]

bjr

X=prix de vente
Y=Quantité

je trouve Y = 1716,4X^(-0,4918)

R²=0,9988

voir la courbe
http://www.cjoint.com/c/EJnkoNIroA1


l'inverse
X=quantité
Y=prix de ventes
Y=4E6*X^(-2.0309)

[Nicolas2012]

>voir la courbe
>http://www.cjoint.com/c/EJnkoNIroA1[/quote]

Bonjour Willy, merci pour le fichier.
Mais tu l'as fait avec Excel, pas vrai? ça je sais faire. J'aimerais que qn m'explique comment le faire manuellement? Car ajouter une courbe de tendance sur Xcel, je sais faire aussi :we:

Comment trouver ce résultat en le faisant manuellement? C'est ça que je ne sais pas faire perso'
Comment arriver à ce résultat Excel par le calcul?

Nicolas

[WillyCagnes]

Calcul de regression non linéaire soit Y=aX^b

log(Y)=b*log(X) +log(a)

On pose Y=ln(y), A=ln(a) et X=ln(x), pour se ramener à un ajustement linéaire de Y en fonction de X:
Y=A+b*X
A et B se calculent par les formules habituelles de la régression linéaire. On obtient ensuite a=exp(A).

https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gression_lin%C3%A9aire
http://grasland.script.univ-paris-diderot.fr/STAT98/stat98_7/stat98_7.htm
http://infolib.lotus.com/resources/symphony/3.0.0/sym20abd014/fr_fr/text/schart/01/04050100.html


formules avec somme=lettre sigma

b=[Somme[log(Xi)*log(Yi)] -Somme(log(Xi))*somme(log)Yi))/n]/[somme([log(Xi)]² )-[somme(log(Xi)]²)/n]

a=exp[somme(log(Yi)/n -b*somme(log(Xi))/n]

[zygomatique]

oui pardon .... :hum:

j'ai fait une confusion entre un ajustement exponentiel en posant et un ajustement puissance

dans les deux cas tu passes par ln y pour te ramener à un ajustement affine ...

dans le deuxième cas effectivement tu poses aussi x' = ln x ....

:lol3:

[Nicolas2012]

Bonsoir,

j'avoue que je suis un peu perdu par vos explications les gars... car je te remercie pour les formules que j'avais oublié avec le temps mais malgré tout, le pb selon moi ne se pose pas ainsi.

Car dans ta formule, tout part de : y = ax^b, qui donne: log y = log ax^b = log a + log x^b....
je suis d'accord avec vous; mais comme l'a rappelé justement zygomatique, une fois l'ajustement linéaire effectué en passant par les log pour x et y, on obtient la droite de régression LINEAIRE suivante: Y = -2.0508X + 15.204 (avec Y = log y et X = log x)

et c'est à partir de là où je suis coincé, à partir de cette équation, il faut qu'on retrouve y et x et c'est là où j'ai besoin d'aide. Les fichiers que tu m'as donné sont intéressants mais un peu "abscons", je préfère qu'on reste sur mon exemple pour que je comprenne bien. Donc, est-ce que l'un de vous 2 (ou qn d'autre bien sûr , peut résoudre l'équation ci-dessus en détaillant son calcul.
Merci d'avance, bonne soirée.

[Nicolas2012]

OK, je continue à chercher aussi, y'a pas de raison
en cherchant sur google, comme d'hab' on trouve rien quand on cherche mais j'ai malgré tout trouvé un lien super intéressant car lui résout l'équation donnée (http://fbegin.profweb.ca/ZPAH2011/NotRegNonLin.pdf) page 9

j'ai appliqué cette méthodologie et voici ce que je trouve, dites-moi si c'est bon (j'ai fait le test sur les valeurs du tableau et ça semble être plutôt pas mal), donc je reprends:

Y = -2.06X + 15.2 (ça c'est la version "ajustement linéaire" en passant par les log)
ln (y) = -2.06 ln(x) + 15.2 (ça c'est le conseil zygomatique)
e^ln(y) = e^[-2.06ln(x) + 15.2]
=> y = e^15.2 * e^[-2.06ln(x)]

=> y = e^15.2 * (e^lnx)^-2.06
et donc: y = 3 992 787 x^(-2.06)

m si ça me parait un peu "tiré par les cheveux", si on remplace par les valeurs x et y du tableau, ça tombe vraiment pas loin. Donc cela vous parait-il correct à tous les 2 comme résolution?

[Nicolas2012]

Willy, si on prend ta formule: Y = 1716,4X^(-0,4918)
si tu remplaces par les valeurs du tableau, ça ne fonctionne pas.

[WillyCagnes]

cette formule a été faite en prenant le Prix de vente comme abscisse

et puis je trouve Y=4.10^6*X^(-2,0309) en prenant la Quantité comme abscisse

[Nicolas2012]

>

cette formule a été faite en prenant le Prix de vente comme abscisse
>et puis je trouve Y=4.10^6*X^(-2,0309) en prenant la Quantité comme abscisse

Bonjour Willy,

désolé mais je ne comprends pas ce que tu as fait. Perso', j'ai bien prix "PV" en abscisse comme toi, et je trouve ce que tu as lu hier. Et ça marche super quand je remplace.

J'ai fait les autres exos de régression sur le PDF dont je parlais et ça fonctionne aussi. Perso', je vois pas pourquoi tu mettrais les Qté en abscisse, ce n'est pas logique par rapport au postulat de l'énoncé.

Mais tout va bien, j'ai compris, mon équation semble correcte, problème résolu pour moi. Bonne journée!

[WillyCagnes]

content pour toi, bonne journée!

[zygomatique]

OK, je continue à chercher aussi, y'a pas de raison
en cherchant sur google, comme d'hab' on trouve rien quand on cherche mais j'ai malgré tout trouvé un lien super intéressant car lui résout l'équation donnée (http://fbegin.profweb.ca/ZPAH2011/NotRegNonLin.pdf) page 9

j'ai appliqué cette méthodologie et voici ce que je trouve, dites-moi si c'est bon (j'ai fait le test sur les valeurs du tableau et ça semble être plutôt pas mal), donc je reprends:

Y = -2.06X + 15.2 (ça c'est la version "ajustement linéaire" en passant par les log)
ln (y) = -2.06 ln(x) + 15.2 (ça c'est le conseil zygomatique)
e^ln(y) = e^[-2.06ln(x) + 15.2]
=> y = e^15.2 * e^[-2.06ln(x)]

=> y = e^15.2 * (e^lnx)^-2.06
et donc: y = 3 992 787 x^(-2.06)

m si ça me parait un peu "tiré par les cheveux", si on remplace par les valeurs x et y du tableau, ça tombe vraiment pas loin. Donc cela vous parait-il correct à tous les 2 comme résolution?

c'est exactement cela ..... sans être tiré par les cheveux !!!

:lol3:

[Nicolas2012]

c'est exactement cela ..... sans être tiré par les cheveux !!!
:lol3:

Awesome! :lol3:
c'est juste le nombre "un peu élevé" qui me paraissait "loufoque" mais puisque tu me confirmes, problème résolu.
Bonne soirée Zyg!

[zygomatique]

merci et à toi aussi ....


je n'ai pas vérifié les valeurs numériques ... mais c'est le raisonnement ::

changement de variable (x, y) --> (ln (x), ln(y)) = (X, Y)

équation de la droite de régression de Y en X

puis retour à la case départ (X, Y) --> (exp(X), exp(Y)) = (x, y)

...