Règle des mineurs (matrice)

[Aispor]

Bonjour,
Il y a une certaine proposition en algèbre matricielle sur les matrice, du type (la matrice est de rang p ssi elle admet p mineurs non nuls)
Je ne la connais pas et je ne la trouve pas pouvez vous m'en dire plus ?

Merci d'avance !

[tournesol]

Le rang d'une matrice est l'ordre maximum d'un mineur non nul ou autrement dit l'ordre maximum d'une sous matrice inversible .
Pour repondre en tes termes:
Une matrice est de rang p ssi elle admet au moins un mineur d'ordre p non nul , ET tous ( je dis bien tous) les mineurs d'ordres supérieurs sont nuls .

[aviateur]

Bonjour
Un question comme ça dont je n'ai pas réfléchi à la réponse:
un mineur d'ordre r c'est bien une sous-matrice dont on a retiré n-r lignes et n-r colonnes.
Ce n'est surement pas un problème de déterminer combien on a de mineurs.
Mais si la matrice de départ est de rang r, le nombre de mineurs non nuls est-il fixe? Si oui quel est ce nombre?
Sinon quels sont les possibilités pour ce nombre?

[tournesol]

Bonjour .
Qui a dit que la matrice etait carrée ?

[aviateur]

Ah oui. Mais si on suppose la matrice carrée?

[tournesol]

Nombre fixe certainement pas .
1 , c'est evident en bordant I r de zéros .
Tous , ça devrait être possible comme dans le cas de
101
011
112
Ce nombre est -il de Darboux ?
Je pense qu'il faut mettre les [...] pour ne pas chercher des résultats inutiles .

[aviateur]

Bonjour
Voici ce que j'ai obtenu et que je peux développer + tard:
Dans le cas des matrices carrées on a M est de rang r, ssi où les familles (X_i) et (Y_i) sont des familles libres de
Le nombre de mineurs est égal à
Le nombre de mineurs non nuls dépend uniquement de et
Ce nombre vaut évidemment au moins 1 et peut prendre pas mal de valeurs mais pas toutes.
Par exemple pour n=3 et r=2 on ne peut pas avoir 5 mineurs non nuls.

[Aispor]

Bonjour
Merci à tous pour vos réponses elles me conviennent très bien.
En effet j'utilise souvent cette règle que je ne connaissais pas sur des matrices rectangulaires pour montrer qu'une fonction est une submersion ou immersion.
Merci encore !