Réduite de Jordan

[gally]

Bonsoir,
J'ai du mal pour trouver la réduite de jordan de
A =

-2 -1 1 2
1 -4 1 2
0 0 -5 4
0 0 -1 -1

Donc j'ai bien trouvé le polynôme caractéristique (X+3)^4. On sait que ker(A-ai) C ker (A-ai)² C ker(A-ai)^3 C... C ker(A-ai)^k=ker(A-ai)^(k+1)
on a ker(A-ai)=( 1 5 2 1), (1 1 0 0)
ker (A-ai)²=(1 0 0 0), (0 1 0 0), (0 0 2 1)
et vu que la suite dim( ker(A-ai) ) est strictement croissante on a ker(A+3I4)^3=R^4
On ajoute v4 =(0 0 0 1) qui appartient a R^4 mais pas à ker(A+3I4)²
Ça j'ai compris.
Après c'est marqué on prend v3=(A+3I4)v4 donc on obtient v3=(2 2 4 -2) et v2=(8 8 0 8)
Je comprends que si on a

D =

-3 1 0 0
0 -3 1 0
0 0 -3 1
0 0 0 3

on a bien cette formule pour les vecteurs v3 et v2.
Pourtant c'est marqué que l'on devait compléter (v4,v3,v2) avec un vecteur de E(-3) v1=(-4 0 2 1) et que l'on avait
Mat A1(v1,v2,v3,v4)=

-3 0 0 0
0 -3 1 0
0 0 -3 1
0 0 0 3
Comment ils ont su qu'il n'y avait pas de 1 sur la première ligne?
A quoi sert de trouver une base?
J'ai l'impression de n'avoir rien compris du coup..
Merci d'avance

[sylvainc2]

Dans la forme de Jordan il y a autant de blocs de Jordan que la dimension du sous-espace propre d'une valeur propre.
Dans le cas ici, il y a une valeur propre quadruple -3, et son sous-espace propre est de dimension 2. Donc il y a deux blocs de Jordan. La question est de savoir si c'est deux blocs 2x2 chacun, ou un bloc 1x1 et un autre 3x3.

Vous avez pris v4=(0,0,0,1) puis calculé (A+3I)v4=v3 = (2,2,4,2) (il y a une erreur de signe sur le dernier 2), puis (A+3I)v3=v2=(8,8,0,0) (et non (8,8,0,8)). On remarque que (8,8,0,0) est un multiple de (1,1,0,0) donc c'est un vecteur propre de A. Alors le bloc de ce vecteur propre est 3x3 puisque v4,v3 et v2 appartiennent à ce bloc (ils forment une chaine). Les blocs sont donc de la forme 1x1: [-3]
et l'autre est 3x3:
-3 1 0
0 -3 1
0 0 -3

Quand on les met dans une matrice 4x4 ca fait bien J=
-3 0 0 0
0 -3 1 0
0 0 -3 1
0 0 0 -3

On aurait pu mettre aussi
-3 0 0 0
0 -3 1 0
0 0 -3 1
0 0 0 -3
car les bocs sont permutables, leur ordre n'a pas d'importance. Évidemment dans la matrice de passage, il faut placer les vecteurs v1,v2,v3,v4 dans le bon ordre pour avoir la forme de Jordan voulue en calculant J=P^(-1) A P.

[gally]

Dans la forme de Jordan il y a autant de blocs de Jordan que la dimension du sous-espace propre d'une valeur propre.
Dans le cas ici, il y a une valeur propre quadruple -3, et son sous-espace propre est de dimension 2. Donc il y a deux blocs de Jordan. La question est de savoir si c'est deux blocs 2x2 chacun, ou un bloc 1x1 et un autre 3x3.

Vous avez pris v4=(0,0,0,1) puis calculé (A+3I)v4=v3 = (2,2,4,2) (il y a une erreur de signe sur le dernier 2), puis (A+3I)v3=v2=(8,8,0,0) (et non (8,8,0,8)). On remarque que (8,8,0,0) est un multiple de (1,1,0,0) donc c'est un vecteur propre de A. Alors le bloc de ce vecteur propre est 3x3 puisque v4,v3 et v2 appartiennent à ce bloc (ils forment une chaine). Les blocs sont donc de la forme 1x1: [-3]
et l'autre est 3x3:
-3 1 0
0 -3 1
0 0 -3

Quand on les met dans une matrice 4x4 ca fait bien J=
-3 0 0 0
0 -3 1 0
0 0 -3 1
0 0 0 -3

On aurait pu mettre aussi
-3 0 0 0
0 -3 1 0
0 0 -3 1
0 0 0 -3
car les bocs sont permutables, leur ordre n'a pas d'importance. Évidemment dans la matrice de passage, il faut placer les vecteurs v1,v2,v3,v4 dans le bon ordre pour avoir la forme de Jordan voulue en calculant J=P^(-1) A P.

Ok merci beaucoup!

[gally]

Dans la forme de Jordan il y a autant de blocs de Jordan que la dimension du sous-espace propre d'une valeur propre.
Dans le cas ici, il y a une valeur propre quadruple -3, et son sous-espace propre est de dimension 2. Donc il y a deux blocs de Jordan. La question est de savoir si c'est deux blocs 2x2 chacun, ou un bloc 1x1 et un autre 3x3.

Vous avez pris v4=(0,0,0,1) puis calculé (A+3I)v4=v3 = (2,2,4,2) (il y a une erreur de signe sur le dernier 2), puis (A+3I)v3=v2=(8,8,0,0) (et non (8,8,0,8)). On remarque que (8,8,0,0) est un multiple de (1,1,0,0) donc c'est un vecteur propre de A. Alors le bloc de ce vecteur propre est 3x3 puisque v4,v3 et v2 appartiennent à ce bloc (ils forment une chaine). Les blocs sont donc de la forme 1x1: [-3]
et l'autre est 3x3:
-3 1 0
0 -3 1
0 0 -3

Quand on les met dans une matrice 4x4 ca fait bien J=
-3 0 0 0
0 -3 1 0
0 0 -3 1
0 0 0 -3

On aurait pu mettre aussi
-3 0 0 0
0 -3 1 0
0 0 -3 1
0 0 0 -3
car les bocs sont permutables, leur ordre n'a pas d'importance. Évidemment dans la matrice de passage, il faut placer les vecteurs v1,v2,v3,v4 dans le bon ordre pour avoir la forme de Jordan voulue en calculant J=P^(-1) A P.

J'ai
B =

pi 0 0 0
0 pi 1 2
0 0 pi 3
0 0 0 pi

Xb(X)=(x-pi)^4
ker(b-pi)^3= vect [(1000),(0100),(0010)]
dim ker(b-pi)^3=3 donc dim ker(b-pi)^4= R^4
Soit v4=(0001)
v3=(0230) v2=(0300)
or v2 appartient à l'espace caractéristique de pi
v1=(002-1)
On a donc
MatB1(v1,v2,v3,v4)=
3.1416 0 0 0
0 3.1416 1.0000 0
0 0 3.1416 1.0000
0 0 0 3.1416
Est ce que c'est ça?

[gally]

Dernière matrice!
Comment faire quand il y a plusieurs valeurs propres?
Par exemple j'ai:
D =

4 -8 0 -3
0 4 0 0
6 -8 -2 -3
0 0 0 -2

XD(X)=(X-4)²(X+2)²
Donc valeurs propres :(-2; 4)
Espace propre de -2: vect((2001),(2011))
Espace propre de 4: vect((1000))
ker(D-4I4)²=vect((1010),(0100))
On a donc Mat D1(v1,v2,v3,v4)=

D =

-2 0 ? -?
0 -2 ? ?
0 0 ? ?
0 0 ? ?
Comment faire pour v3 et v4?
Merci d'avance!
Cordialement
Gally

[sylvainc2]

Pour la matrice B avec des pi, c’est bon.

Pour D, puisque la valeur propre 4 a un sous-espace propre de dimension 1, il y a un seul bloc de Jordan. On fait de la même façon : on prend v4 dans ker((D-4I)^2) mais pas dans ker(D-4I), donc v4=(0,1,0,0) puis on calcule (D-4I)v4=v3 = (-8,0,-8,0). Alors J=
-2 0 0 0
0 -2 0 0
0 0 4 1
0 0 0 4
Et P contient v1,v2,v3,v4 dans ses colonnes, P=
0 1 -8 0
0 0 0 1
1 0 -8 0
0 2 0 0
Et on vérifie que J=P^-1 D P, ou encore PJ=DP (pas d’inverse à calculer, c’est plus facile).