Reduction

[biss]

Salut
Soit f un endomorphisme de E tel que fof=f
1) Montrer que les seuls valeurs propres de f sont 0 et 1
Solution : soit V un vecteur propre de f, alors
f(v)=kv et d d'autre part fof=f donc fof(v)=f(kv)=kf(v)=k^2v et comme fof(v)=f(v) alors k^2v=kv donc k est 1 ou 0
2) Montrer que Imf={x € E/ f(x)=x}
Solution :
Nous allons cherchet la base des vecteur propre
Pout k=1
On a fof(v)=v et f(v)=v alors
Imf={x € E/ f(x)=x}

Voilà. Cr qui me pre-occupe c est que je sais pas si le raidonnement est bon et je me demande pourquoi j ai pas pris le vecteur propre associé a k=0. J ai pas compris la question 2

[jlb]

Salut , procède par "double-inclusion" entre A = {x € E/ f(x) = x} et Imf= {y€E /il existe x€E / f(x)=y}
Une des inclusions est très simple!!

k²v=kv équivaut à k(k-1)v = 0 et comme v n'est pas nul, tu obtiens bien k=0 ou k=1

[biss]

A = {x € E/ f(x) = x} et Imf= {y€E /il existe x€E / f(x)=y}

Je ne comprend pas le but de ce double inclusion et je ne comprend Imf= {y€E /il existe x€E / f(x)=y}
Tu peux m expliquer ?

[zygomatique]

salut

si x = f(x) alors par définition x appartient à Im f donc

f o f(x) = f(x) <=> f[f(x)] = f(x) donc car par définition f(x) est un élément de Im f

[biss]

J ai compri maintenant
f(x)=x a ete trouvé car on pris k=1
Et si on fesais la meme chose pour k=0
On aura 0= f(x) alors 0 appartient a Imf ??
Mais comme 0 appartient à et que
f o f(x) = f(x) <=> f[f(x)] = f(x) donc
Donc

[zygomatique]

il est évident que 0 appartient à Im f car :

1/ f est linéaire donc f(0) = 0

2/ f est linéaire donc Im f est un espace vectoriel

...

[biss]

Merci