Récurrence et trigo

[Anonyme]

Bonjour,

j'ai un polynôme défini tel que
P0(x)=2, P1(X)=x
pour tout n >= 2, Pn+1(x) = x * Pn(x) - 1/4 Pn-1(x)

Dans une question je devais calculer Pn(1), Pn(-1) et Pn(0)
j'ai conjecturé :
Pn(1)=2^(n-1)
Pn(-1)=(-1)^n * 2^(n-1)
Pn(0)=(-1)^n*2^(n-1) si n pair
Pn(0)=0 si n impair
mais je ne vois pas comment le démontrer...

mais c'est après que je suis complètement perdu : je dois démontrer que Pn(x) = ( 1 / 2^(n-1) ) * cos(n*theta) avec theta=Arccos(x) et x dans [-1;1]

est-ce que vous avez une idée ?

Merci d'avance

[Anonyme]

Hx2 , Joffre :d ?

[boulay59]

Je suppose que pour Pn(1), tu as conjecturé Pn(1)=2^(1-n) et pas 2^(n-1), sinon, c'est sûr que c'est difficile à montrer. (j'ai pas vérifié les autres calculs, mais j'ai l'impression qu'il y a d'autres fautes du même genre : vérifie au rang 0...)
Sinon, je crois qu'il n'y a pas forcément besoin de conjecturer : tu as donc une récurrence linéaire d'ordre 2 (fais de même avec -1 et pour 0, c'est encore plus simple). Tu peux donc en déduire les résultats.

La deuxième question doit se faire par récurrence mais là, désolé, j'ai pas le temps de l'expliquer (p'têt demain si personne ne t'aide ...)

[Anonyme]

Paulo > Bien vu :p T'as réussi toi ?

boulay59 > Oups, désolé, c'est 1-n pour les 3 conjectures en effet :
Pn(1)=2^(1-n)
Pn(-1)=(-1)^n * 2^(1-n)
Pn(0)=(-1)^n*2^(1-n) si n pair
Pn(0)=0 si n impair

Sinon, je crois bien que j'ai jamais vu de récurrences d'ordre 2, et je vois pas comment on peut déduire ce que j'ai conjecturé à partir de cette relation :-\

[Anonyme]

C'est qui alors ?
Sinon tu peux déja montrer avec le Arccos que ca suit la meme relation de récurrence que celle qui est donnée en début d'exo !

[Anonyme]

Ah ouais merci j'ai trouvé (en appliquant cos(a)cos(b)=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)] dans xPn-1/4Pn-1 on retombe sur Pn+1).

C'est Romain au fait

[boulay59]

Vous avez pas encore fait les récurrences linéaires d'ordre 2 (et supérieur bien sûr) !!! Et ben décidément, on fait vraiment plus rien en prépa... :lol3:

Non, sérieusement, comme tu n'as pas vu cette méthode de résolution "rapide" (enfin ça dépend), on va le faire comme tu as commencé, par conjecture puis démonstration par récurrence :
Tu as
Soit
Alors et sont vrais
On suppose pour donné que et sont vrais et tu démontres :
On a
Donc d'après et ,
Donc est vérifié
CQFD

[boulay59]

Fais pareil pour les 2 autres, ça marche à tous les coups ...

[Anonyme]

Ok, ça marche bien, merci !