Récurrence

[lamiss]

f^(n)(x)= Hn(x)e^(-x^2/2)
H0=1
H1=-x
H2=((x^2)-1)
H3=((-x^3)+3x)

je trouve cela en fonction des dérivées succesives de f(x)=e^((-x^2)/2)
question:
etablir l'existence de (Hn) n appratenant N et montrer que :
Hn+1= H'n(x) - xHn(x)
je fais l'initialisation au rang n=0
H1=-x
H'n(x)-xHn(x)= H'0(x)-xH0(x)=0-x*1=-x
ok c'est verifié

mais apres pour l'heridité je ne sais pas comment faire
pourriez vous m'aider avec détails svp?
merci d'avance
Marine

[fahr451]

bonjour

on suppose l existence de Hn et on redérive il suffit de poser le Hn+1 qui va bien et on a montré l'existence au rang n+1 et la relation demandéeentre Hn et Hn+1

[buzard]

tu arrive à faire quelques itérations, mais pas à formaliser?

en ecrivant tou ca dans le bon sens, ca coule de source :

tout d'abord les données :
[INDENT]
, pour tout x dans l'intervalle considéré

on définie pour tout entier naturel n>0 et tout x, H_n(x) tel que :



on étend par convention à n=0, avec Ho(x)=x

EDIT : justifier l'existence des H_n(x)
[/INDENT]
Ensuite la question :
[INDENT]
Mq pour tout n, H_n est une fonction polynomiale de x, determiner son degré ainsi que l'expression du coefficient a_n,k de x^k dans H_n.
[/INDENT]
ainsi énnoncé t'auras j'espère l'esprit plus claire.

bonne continuation