Recurrence ?

par **forza** » 27 Oct 2006, 18:25

ex : Un entier n qui appartient a N est somme de deux carrés s'il existe deux entiers a,b qui appartiennent a N tels que

n=a²+b²

Montrez qu'un produit fini de tels entiers est encore somme de deux carrés, ie si p appartient a N* et n1,......nP appartiennent a N sont des entiers sommes de deux carrés

Alors n= produits de nk de K=1 a P est egalement somme de deux carrés

En fait je sais pas si il faut utilisé la recurrence et si c'est cela il faut que je supposer nk vrai et montre nk+1 vrai ou c'est pas bon ??
Aider moi juste pour partir dans l'exercice sur le bon chemin apres je le ferais evidemment

par **Imod** » 27 Oct 2006, 18:49

Je ne pense pas qu'une récurrence soit une bonne idée par contre je verrais bien :

.

Imod

par **forza** » 27 Oct 2006, 18:50

Ok
je vais chercher de ce coté la et je redis quoi si je bloque merci !

par **Quidam** » 27 Oct 2006, 18:52

Imod a écrit:Je ne pense pas qu'une récurrence soit une bonne idée par contre je verrais bien : .

Imod

Bien sûr ! Mais cela n'exclut pas la récurrence ! On en a quand même besoin si l'on veut éviter de faire n-1 fois le même calcul !

par **Imod** » 27 Oct 2006, 18:59

Pour Quidam ,

il me semble que si on montre que le produit de deux éléments de l'ensemble en question reste dans cet ensemble , on montre par la même que le produit d'un nombre fini d'éléments de cet ensemble reste dans l'ensemble et je ne vois pas la nécessité d'une récurrence , mais je peux me tromper .

Imod

par **Quidam** » 27 Oct 2006, 19:07

Imod a écrit:Pour Quidam ,

il me semble que si on montre que le produit de deux éléments de l'ensemble en question reste dans cet ensemble , on montre par la même que le produit d'un nombre fini d'éléments de cet ensemble reste dans l'ensemble et je ne vois pas la nécessité d'une récurrence , mais je peux me tromper .

Imod

Oui, tu as raison. Simplement, il m'avait semblé que dire [INDENT]"puisque le produit de deux éléments de l'ensemble en question appartient à cet ensemble alors le produit de n éléments de l'ensemble en question appartient à cet ensemble",[/INDENT] c'est en quelque sorte appliquer un raisonnement par récurrence...Mais je ne vais pas ergoter !

par **forza** » 28 Oct 2006, 14:34

ne m'aurait pas du donner la reponse directement ? car la j'ai plus rien a prouver ?? enfin je peux me tromper ....

par **forza** » 28 Oct 2006, 14:46

j'étais partie pour developper :

(ac+bd)²(ad-bc)²(e²+f²)et trouver encore somme de deux carrés
ca il ne dise pas que c'es le produit de deux nombres mais vu le resultat que j'ai ..

Enfin ca me parait bizarre j'arrive pa a savoir si l'exo il est fini, j'ai pas montrer pour tout les n ?

par **Imod** » 28 Oct 2006, 14:51

Je suis un peu ( beaucoup ) d'accord avec toi mais qu'aurait-il fallu que je te dise ? Il est facile de voir sur cet exercice que le problème est d'écrire le produit de deux sommes de deux carrés comme une somme de deux carrés . Comment expliquer la méthode autrement qu'en donnant la formule ? Si j'avais trouvé quelque chose d'un peu moins définitif je te l'aurais dit , mais je n'ai pas trouvé . En tout cas désolé si j'ai tué l'exercice .

Imod

par **forza** » 28 Oct 2006, 14:59

Ba c'est pas grave mais j'ai quand meme chercher a voir si l'exo était fini ....

enfin bon ca fait drole que la reponse fait Deux lignes sur une page ! je sais pas J'ai du mal a imaginé mon prof de prepa se satisfaire de cela mais il n'y a rien d'autre a dire !

A moins de developpé ce que j'ai ecrit au dessus pour le fun mais c'est complequé quand meme de reduire apres .....
enfin bon merci bcp Imod

par **Imod** » 28 Oct 2006, 15:13

En effet la solution tiens en deux lignes . Si tu notes E l'ensemble des sommes de deux carrés de deux entiers , d'après la formule au-dessus E est stable par multiplication donc tout produit fini d'éléments de E est dans E . Je ne vois pas la nécessité de développer plus .

Imod

par **yos** » 28 Oct 2006, 15:23

La formule (a²+b²)(c²+d²)=(ac-bd)²+(ad+bc)² peut sembler plus naturelle à partir de la formule du module d'un produit de deux complexes : |z||z'|=|zz'| donc si z=a+bi et z'=c+di, tu as l'égalité voulue.
Le passage de deux à un nombre fini quelconque d'entiers relève effectivement d'une récurrence, mais d'une récurrence triviale : il ne faut pas l'expliciter. Moi je dirais : "par une récurrence triviale, on a ..."
Cela dit, ce qui est intéressant, c'est de regarder quels sont les nombres premiers qui sont somme de deux carrés (ce qui précède nous y amène naturellement). Le fait que les premiers de la forme 4k-1 ne sont pas somme de deux carrés est facile, mais le fait que les premiers de la forme 4k+1 le sont est un peu plus dur.

par **Imod** » 28 Oct 2006, 15:41

Dans les prolongements possibles pour montrer que tout entier naturel peut s'écrire comme une somme de quatre carrés , on se ramène a l'étude des entiers premiers en remarquant que :

Par contre l'étude de la décomposition d'un entier premier en somme de quatre carrés n'est pas élémentaire .

Imod

Recurrence ?

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