Récurrence

[Arthur882]

Bonjour, je galère vraiment pour un DM de maths, surtout pour la 1ère question qui est de montrer par récurrence qu’à partir d’un certain rang on a : (n^3) -1 < 2^n Merci de votre aide ^^

[pascal16]

version forntale
(n+1)^3 =...
il te reste 3n²+3n+1 à majorer par 2^n or tu sais majorer n^3 par 2^n

donc reste à montrer que pour n très grand :
3n²+3n+1 < n^3
soit étudier le signe de n^3 -3n²-3n-1
le n très grand est il me semble n=4

[Arthur882]

Du coup mon HR c’est (n^3) -1 < 2^n et j’essaie de retomber sur (n+1)^3 -1 < 2^n ? J’ai fais sa mais j’arrive pas à retomber dessus. Et même pour l’initialisation je suis sensé faire comment ( calculatrice interdite)

[pascal16]

((n+1)^3) -1 = n^3+3n²+3n+1-1= n^3 -1 + 3n²+3n

montrons que 3n²+3n < n³ -1 pour n > 4
n³-3n²-3n-1 (étude qui demande un delta sur la dérivée ou simple tracé de la fonction)
n³-3n²-3n-1 >0 pour n>=4

donc
((n+1)^3) -1 = n^3+3n²+3n+1-1= n^3 -1 + 3n²+3n< n³ -1 + n³ -1< 2^n + 2^n = 2^(n+1)