Récurrence

[pluie2]

Bonsoir, voici une récurrence:

Démontrer que pour tout n appartient à N* on a 2^( n-1)
Je dois faire une récurrence:

Initialisation: avec n=1 on a n!=1!=1 n^n=1 2^(0)=1 donc P1 est vraie

Hérédité: On veut démontrer que 2^n<(n+1)!<(n+1)^(n+1)

et c'est ici que j'ai du mal

merci de m'aider

[Archibald]

Bonsoir,

l'inégalité telle qu'elle est posée est fausse. Je suppose donc que c'est :

l'étape de l’hérédité consiste à supposer la proposition vérifiée au rang et à démontrer qu'elle entraîne par hypothèse d'hérédité sa validité au rang .






On vient de montrer que et donc l'hérédité de cette inégalité là.

A toi de continuer avec l’inégalité restante.

[pluie2]

bonsoir,

oui j'avais oublié de mettre les inégalités non strictes...

donc pour l'autre :

2^(n-1)<=n! et on veut démontrer que 2^n <= (n+1)!

Donc :

2^(n-1)*2<=2n!
2^n<=2n(n-1)
2^n<= 2n²-2

or (n+1)!=(n+1)n!

je ne vois pas trop comment comparer le (n+1)! et le 2n(n-1)

[beagle]

"je ne vois pas trop comment comparer le (n+1)! et le 2n(n-1)"

(n+1)!= 1x2x...(n-1)xnx(n+1)=
t'as du 2, t'as le n-1 et t'as le n, et t'as encore plein d'autres...

[Archibald]

bonsoir,

oui j'avais oublié de mettre les inégalités non strictes...

donc pour l'autre :

2^(n-1)<=n! et on veut démontrer que 2^n <= (n+1)!

Donc :

2^(n-1)*2<=2n!
2^n<=2n(n-1)
2^n<= 2n²-2

or (n+1)!=(n+1)n!

je ne vois pas trop comment comparer le (n+1)! et le 2n(n-1)

Attention,

[pluie2]

(n+1)! = 1*2*3*...*(n-1)*n(n+1)

donc (n+1)!>2n²-2

donc 2^n<=2n²-2<=(n+1)! donc Pn+1 est vraie

[pluie2]

oups je n'avais pas vu votre message donc :

2^(n-1)*2<=2n!
2^n<=2n(n-1)!
2^n<=

or (n+1)!=(n+1)n! donc 2n(n-1)!-(n+1)! ? pour les comparer

[beagle]

oups je n'avais pas vu votre message donc :

2^(n-1)*2<=2n!
2^n<=2n(n-1)!
2^n<=

or (n+1)!=(n+1)n! donc 2n(n-1)!-(n+1)! ? pour les comparer

Je garderais plutot le 2n!,
et je ferais plutot une division:

2n! / (n+1)! inf ou sup à 1?

[pluie2]

inf à 1 car le (n+1)! est plus grand que 2n!

[beagle]

inf à 1 car le (n+1)! est plus grand que 2n!

cela se réduit à 2/(n+1) donc c'est inf à 1 pour n sup 1

donc 2n! inf (n+1)!

[pluie2]

ok donc 2^n<=2/(n+1)

je suis un peu perdue pour la suite ...

[pluie2]

et donc pour la suite de la récurrence je ne vois pas comment passer de 2^n <= 2/(n+1) au résultat qui est attendu...

[deltab]

Bonjour

et donc pour la suite de la récurrence je ne vois pas comment passer de 2^n <= 2/(n+1) au résultat qui est attendu...

Il suffit juste de remarquer que pour , pour passer de à