Recurrence sur une partie de R

[maroxe]

bonsoir,

J'essayer tout a l'heure de dormir, quand tout d'un coup j'ai eu une idee bizarre: essayer la recurence sur R, plus precisement sur un interval ferme [a, b] de R. Je m'explique:

Pour montrer que P(x) est vraie pour tout x dans [a, b]
on montre que P(a) et P(b) sont vraies.
On suppose que P(c) et P(d) vraies pour deux reel c et d dans l'interval [a, b]
et on montre que P(U(c,d)) est vrai

U est une suite dans RxR qui parcout [a, b] en entier(cad qu'en partant de a, b et U(a,b), on peut arriver a n'importe quel reel dans [a, b] seulement en applicant U aux nombres deja generes)

Toute la difficulte reside dans le choix de U. Et meme, je n'ai pas la moindre certitude que cette suite existe. C'est pour ca que je vous demande de l'aide.

@ bientot!

[Nightmare]

Salut,

peu de chances de trouver un tel U, NxN est dénombrable alors que [a,b] ne l'est pas...

Pour avoir un principe de récurrence sur R, il faut un bon ordre, d'après l'axiome du choix (plus particulièrement le théorème de Zermèlo qui lui est équivalent) on sait qu'il existe un bon ordre sur R, mais on ne sait pas le construire.

[maroxe]

Salut,

peu de chances de trouver un tel U, NxN est dénombrable alors que [a,b] ne l'est pas...

Pour avoir un principe de récurrence sur R, il faut un bon ordre, d'après l'axiome du choix (plus particulièrement le théorème de Zermèlo qui lui est équivalent) on sait qu'il existe un bon ordre sur R, mais on ne sait pas le construire.

Pourquoi un ordre justement? L'essentiel est de trouver un U qui permet de generer tous les reels a partir des nombres deja generes, non?

[maroxe]

Je me suis trompe, je voulais dire une suite U dans RxR

[Joker62]

Oui mais le U en question n'existe pas.

[windows7]

haha j'espere que tu as bien dormi quand meme :D

[Doraki]

Le truc qui ressemble le plus à une récurrence sur R, c'est de montrer qu'une propriété représente un ensemble ouvert et fermé :

- Si xn -> x et P(xn) est vrai pour tout n alors P(x) est vrai.
- Si P(x) est vrai alors il existe e>0 tel que P est vrai sur l'intervalle [x-e ; x+e]

Montrer que alors P est vérifiée partout repose sur la propriété de la borne inf de R (toute partie minorée non vide a une borne inf), exactement de la même manière que le principe de récurrence repose sur la propriété qu'une partie non vide de N a un plus petit élément.

[Benjamin]

- Si P(x) est vrai alors il existe e tel que P est vrai sur l'intervalle [x-e ; x+e]

Bonjour,

Est-ce que e peut-être égale à 0 dans ce cas ?

[Doraki]

Nan e doit etre > 0 sinon ça n'apporte rien.

[Benjamin]

C'est bien ce qu'il me semblait ^^ Merci.

[maroxe]

desole, merci de supprimer ce message

[maroxe]

Oui mais le U en question n'existe pas.

pourquoi ?

[Ben314]

Si on reprend ce que tu as écrit au début :

U est une suite dans RxR qui parcout [a, b] en entier(cad qu'en partant de a, b et U(a,b), on peut arriver a n'importe quel reel dans [a, b] seulement en applicant U aux nombres deja generes)

Tu cherche une fonction (je vois pas pourquoi tu appelle ça une suite ?) telle que tout x de [a,b] puisse s'écrire "en partant de {a,b} et en appliquant U à des nombres déjà trouvés"
En terme carré, cela signifie que tu part de puis que tu pose et que tu voudrait que soit égal à [a,b] tout entier.
Ce n'est pas possible car, comme te l'a dit Nightmare dés le début, X est au plus dénombrable (comme réunion dénombrable d'ensembles finis) alors que [a,b] ne l'est pas.

Edit : peut être que ce qui se rapprocherait le plus de ton idée, ce serait de demander à X d'être dense dans [a,b] (c'est le cas par exemple si U(x,x')=(x+x')/2) et de rajouter dans les hypothèses la première condition de Doraki :
- Si xn -> x et P(xn) est vrai pour tout n alors P(x) est vrai.
Dans ce cas, l'ensemble des x tels que P(x) est vrai est fermé et dense...

[Doraki]

Il n'y a pas de suite qui recouvre tous les nombres réels.

[maroxe]

.. ...

[maroxe]

oui c'est application, pas suite, j'etais en manque de someille :p
merci pour vos reponses, c'est plus clair maintenant!