Recurrence non lineaire

[rvfranck]

salut,

j'ai un problème avec cette recurrence: V(n) = 1 / (4 - V(n-1)) avec V(0) = 0

Je n'arrive pas à la ramener sous la forme d'une recurrence lineaire. j'ai essayé de faire un changement comme ceci:
S(n) = Exp (V(n)) puis S(n) = log (v(n)) mais cela ne m'avance à rien.

Je crois qu'il faudrait d'abord écrire V(n) sous la forme de p(n)*v(n-1) mais de ce côté aussi, je n'y arrive pas. :mur:

Vous pouvez m'aider, svp?

[guadalix]

salut,

il manque pas un bout d'enoncé?

[rvfranck]

Non, il est juste demandé de resoudre la recurrence, avec v(0)=0 comme condition initiale: V(n) = 1 / (4 - V(n-1))

Qu'est ce qui te faire croire qu'il n'est pas complet?

[fahr451]

bonjour

récurrence homographique

trouve les deux points fixes complexes a et b

montre ensuite que

un = (vn-a) /(vn-b) est géométrique

[rvfranck]

Merci.
Je vais chercher les points fixes. Comment savez vous qu'il y'en 2?

[fahr451]

aucune idée ( c'est 1 ou 2 dans C)

s 'il y en a qu 'un noté a

on pose u n = 1/(vn - a) qui est arithmétique

[rvfranck]

J'ai un souci:
1- je trouve les points fixes a et b
2- je pose U(n) = (v(n) - a ) / (v(n) - b)
cela doit me donner quelque chose comme U(n) = constante * W(n-1) où W(n-1) est une autre suite
3- Je demontre que W(n) est une suite géométrique
on aura donc W(n) = (q exposant n) * w(0) avec q comme la raison

et après comment je fais pour revenir sur V(n) du départ ou alors comment je fais pour exprimer V(n) en fonction de n?

[fahr451]

c'est directement u(n) géométrique et on peut exprimer vn à partir de un en inversant la relation 2

[rvfranck]

Ok, je crois avoir compris: c'est à cause de la relation f(x)=x des points fixes. U(n) est géométrique et on remplace son terme général dans la relation 2 pour avoir V(n). c'est ça?

[fahr451]

oui en effet

[rvfranck]

Et pour finir avec ça, il suffit de montrer que la fonction est continue pour dire qu'elle admet un point fixe?

[rvfranck]

toc toc! :triste: