Récurrence BCPST

[pluie2]

Bonjour, j'ai deux récurrences à faire et j'ai vraiment du mal (seulement pour l'hérédité), les voici :

a) Soit u la suite définie par u1=u2=4 et pour tout n supérieur à 3, u(n)=u(n-1)+u(n-2). Montrer que pour tout n de N*, u(n) est supérieur à 2n.

donc j'ai fait l'initialisation ok mais je bloque pour l'hérédité : Soit un n appartient à N* tel que Pn est vraie. Alors : ?

b) Soit n un entier. Montrer qu'il existe (a(n), b(n)) appartient à N² tel que n=5a(n)+b(n) et a(n) inférieur à 4.

merci de m'aider :triste:

[Sourire_banane]

Salut,

Bonjour, j'ai deux récurrences à faire et j'ai vraiment du mal (seulement pour l'hérédité), les voici :

a) Soit u la suite définie par u1=u2=4 et pour tout n supérieur à 3, u(n)=u(n-1)+u(n-2). Montrer que pour tout n de N*, u(n) est supérieur à 2n.

donc j'ai fait l'initialisation ok mais je bloque pour l'hérédité : Soit un n appartient à N* tel que Pn est vraie. Alors : ?

b) Soit n un entier. Montrer qu'il existe (a(n), b(n)) appartient à N² tel que n=5a(n)+b(n) et a(n) inférieur à 4.

merci de m'aider :triste:

C'est bien triste tout ça. Les maths ça s'appréhende avec un joli sourire aux lèvres
Déjà on fait une récurrence double.
Tu supposes que pour un certain n supérieur au sens large à 3 (l'intérêt de partir de 3 c'est que la suite est définie pour tout n supérieur à 1, et qu'alors n-2 le sera toujours), on ait u_n >= 2n (mais aussi u_{n-1} >= 2n-2 et u_{n-2} >= 2n-4)
Montrons alors que u_{n+1} >= 2(n+1)=2n+2
Or u_n=u_{n-1}+u_{n-2} >= 2n-2+2n-4 (on a le droit d'additionner des inégalités).
2n-2+2n-4=4n-6 qui est lui-même supérieur à 2n+2 pour n supérieur à 3 (au sens large, ce qui se vérifie avec un peu de bon sens, pas besoin d'une récurrence).
On conclut l'hérédité puis la récurrence;

b) Pareil, une récurrence (sauf que cette fois elle est simple).
On exhibe pour le premier terme (a_0,b_0) qui conviennent. On suppose l'existence d'un couple pour un n donné. Puis on montre au rang suivant qu'on peut trouver a_{n+1} et b_{n+1} fonctions de a_n et b_n qui vérifient l'égalité au rang n+1.

[pluie2]

a) merci je comprends mieux je vais la reprendre

b) par contre je ne vois pa comment procéder malgré votre explication

[XENSECP]

Euh la b) c'est juste la définition de la division euclidienne, en admettant que ce soit bien b(n) <= 4 dans l'énoncé (et pas a(n) comme tu as écris).

[pluie2]

b) d'accord mais pour l'hérédité je n'arrive pas à commencer. je doi prendre (an,bn) ou commencer avec an inférieur à 4 ?

[Sourire_banane]

b) d'accord mais pour l'hérédité je n'arrive pas à commencer. je doi prendre (an,bn) ou commencer avec an inférieur à 4 ?

Oui,

Alors n + 1 = (5a_n + b_n) + 1 = 5a_n + (b_n + 1) avec b_n + 1 <= 4 + 1 = 5
Si b_n + 1 = 5, alors a_{n+1} = a_n + b_n + 1 et b_{n+1} = 0
Si b_n + 1 < 5, alors a_{n+1} = a_n et b_{n+1} = b_n + 1

Dans tous les cas, on a exhibé des entiers qui conviennent.

[pluie2]

et c'est "tout ce qu'il fallait faire" ?

[Sourire_banane]

et c'est "tout ce qu'il fallait faire" ?

C'est ce qu'on te demande de faire.
Il faut comprendre l'énoncé : On te demande de montrer que pour tout n, tout entier n peut s'écrire comme une division euclidienne par le diviseur 5.
Soit n est divisible par 5, alors le reste est nul (le reste ici est b_n à l'ordre n, et on voit qu'il peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, 4), sinon blah blah...

[pluie2]

ok je vais essayer de rédiger ça et si j'ai un problème je vous le dis

[pluie2]

quand vous posez n+1, moi je mettrais plus : n+1=5a(n+1)+b(n+1) (ils sont placés sous les a et le b comme si ils désignaient une suite)

[Sourire_banane]

quand vous posez n+1, moi je mettrais plus : n+1=5a(n+1)+b(n+1) (ils sont placés sous les a et le b comme si ils désignaient une suite)

Oui, c'est bien ça. Et ça te pose un problème ?
Il suffit de les identifier.

[pluie2]

oui car quand vous écrivez: Alors n + 1 = (5a_n + b_n) + 1 moi j'écrirais : n+1=(5a_(n+1)+b_(n+1)

[Sourire_banane]

oui car quand vous écrivez: Alors n + 1 = (5a_n + b_n) + 1 moi j'écrirais : n+1=(5a_(n+1)+b_(n+1)

Tu reprends l'écriture de n sur laquelle tu rajoutes 1. Tu es en train de sauter une étape, en assimilant 5a_n+b_n+1 à deux entiers (faut il prouver que ce sont des entiers ? Non, ça se fait en une équation) a_{n+1} et b_{n+1} qui existeraient déjà.
Enfin ça revient au même. Dans chaque récurrence, il faut partir de l'hypothèse de récurrence pour arriver à montrer le rang n+1, et on doit souvent identifier les résultats de nos calculs avec les termes de rang n+1 afin de conclure l'hérédité.
C'est pour cela que j'ai surligné "identifier".

[pluie2]

j'aimerais la rédiger et que vous m'aidiez à la comprendre (et surtout pour vous montrer ou je bloque malgré vos explications)

Notons pour tout n appartient à N, Pn la propriété " (a_n;b_n) appartient à N²".
Initialisation : Pour n= ?

déjà dans l'initialisation, si je teste avec n=0, j'obtiens (a_0;b_0) mais je ne connais pas leur valeur

[Sourire_banane]

j'aimerais la rédiger et que vous m'aidiez à la comprendre (et surtout pour vous montrer ou je bloque malgré vos explications)

Notons pour tout n appartient à N, Pn la propriété " (a_n;b_n) appartient à N²".
Initialisation : Pour n= ?

déjà dans l'initialisation, si je teste avec n=0, j'obtiens (a_0;b_0) mais je ne connais pas leur valeur

Tu peux me tutoyer, je suis pas si âgé.

Alors déjà oui, tu peux tester avec n=0 puisque tu travailles sur N tout entier. Ensuite, 0=5*machin+chose
Pour machin et pour chose, tu peux par exemple choisir le couple (0,0) qui fonctionne de toute évidence. Tu viens de montrer l'existence d'un couple qui marche (il en existe plein d'autres (x,y) dans N² tels que 5x=-y, par exemple).
Or l'énoncé ne te demande de ne montrer que l'existence, et cela ne nécessite que d'exhiber un seul élément qui satisfasse la propriété énoncée. Tu peux montrer qu'il existe plein de nombres (ici dans le cas n=0 je pourrais te citer (1,-5), (2,-10), (3,-15) parmi tant d'autres) mais ce que l'on veut c'est que tu en montres un qui marche, c'est tout.

On voit la même chose avec les quantificateurs. Le symbole d'existence (un E à l'envers que tu as dû déjà rencontrer) dit qu'il existe, c'est-à-dire en filigranes qu'il existe au moins un x tel que blablah...
Par exemple si je dis "il existe un élève qui a un téléphone dans la classe" n'a pas pour contraire "il n'existe pas d'élève qui a un téléphone dans la classe", mais "tout élève de la classe n'a pas de téléphone". Enfin je m'éloigne du sujet, mais l'essentiel c'est que pour montrer l'existence de quelque chose, il suffit de montrer que lui, il existe. Je tourne en rond, oui.
Par contre, pour prouver le contraire, c'est bien plus difficile, parce qu'il faut prendre tous les éléments d'un ensemble (souvent infini) et montrer que chacun n'a pas de téléphone.
Tout ça pour te dire de ne pas te casser la tête. Quand on te demande de montrer l'existence d'au moins un x tel que, tu cherches un x qui convient et tu l'exhibes en tant qu'exemple. Cela suffit amplement.

[pluie2]

Notons pour tout n appartient à N, Pn la propriété " (a_n;b_n) appartient à N²".
Initialisation : Pour n= ?

déjà dans l'initialisation, si je teste avec n=0, j'obtiens (a_0;b_0) soit 0=5a_0+b_0 donc P_0 est vraie. (comme ceci? et je teste avec un couple qui marche).

Hérédité: je commence comment

désolé si je te fais répéter mais j'aimerais la rédiger "parfaitement".

[Sourire_banane]

Notons pour tout n appartient à N, Pn la propriété " (a_n;b_n) appartient à N²".
Initialisation : Pour n= ?

déjà dans l'initialisation, si je teste avec n=0, j'obtiens (a_0;b_0) soit 0=5a_0+b_0 donc P_0 est vraie. (comme ceci? et je teste avec un couple qui marche).

Hérédité: je commence comment

désolé si je te fais répéter mais j'aimerais la rédiger "parfaitement".

Tu as mal noté la propriété. Ce n'est pas exactement ce que tu veux montrer.
Tu dis que tu obtiens le couple (0,0) qui fonctionne (car 0 et 0 est entier naturel, et que ce couple remplit la condition voulue).

Pour l'hérédité : "supposons que la propriété est vérifiée pour un certain n>=0. Montrons qu'elle reste vraie au rang suivant."

[pluie2]

Tu as mal noté la propriété. Ce n'est pas exactement ce que tu veux montrer.
Tu dis que tu obtiens le couple (0,0) qui fonctionne (car 0 et 0 est entier naturel, et que ce couple remplit la condition voulue).

Pour l'hérédité : "supposons que la propriété est vérifiée pour un certain n>=0. Montrons qu'elle reste vraie au rang suivant."

ok pour le début de l'hérédité et donc pour la suite je pars de (a_n,b_n) ?

[Sourire_banane]

ok pour le début de l'hérédité et donc pour la suite je pars de (a_n,b_n) ?

Tu dis qu'il existe donc un couple d'entier (a_n,b_n) tel que n=5a_n+b_n.
Tu engranges la suite.

[pluie2]

Tu dis qu'il existe donc un couple d'entier (a_n,b_n) tel que n=5a_n+b_n.
Tu engranges la suite.

hérédité : il existe donc un couple d'entier (a_n,b_n) tel que n=5a_n+b_n.

alors : n+1=5a_n+b_n+1

après je reprends ce que tu as écris ici :Alors n + 1 = (5a_n + b_n) + 1 = 5a_n + (b_n + 1) avec b_n + 1 <= 4 + 1 = 5
Si b_n + 1 = 5, alors a_{n+1} = a_n + b_n + 1
Si b_n + 1 < 5, alors a_{n+1} = a_n et b_{n+1} = b_n + 1 même si j'ai beaucoup de mal à comprendre cette hérédité