Quelques question sujet BCPST agro veto 2014

[kaltasus]

Bonsoir à tous,
J'aurais quelques questions à vous poser sur un sujet d'algèbre (MATHS A AGRO 2014)
Le sujet est disponible ici : https://www.concours-agro-veto.net/IMG/pdf_BCPST_sujet_de_mathematiques_epreuve_A_2014.pdf

et il me faudrait de l'aide pour la question 3)1)2): je suis tenté de dire que Q étant matrice de passage, Q inversible, donc rg(Q) = 3
or si a=b=c=0, on a rg(Q) =<3 donc nécessairement, il faut au moins un terme sur les 3 qui soit non nul ?

Je veux bien de l'aide pour la 3)1)4 aussi si vous avez une idée !! merci bien en tout cas
Cordialement

[mrif]

Pour la 3.1.2 je te suggère d'utiliser ces 2 résultats:
- Une matrice de passage est inversible.
- Une matrice est inversible SSI son déterminant est non nul

Pour la 3.1.4, une condition nécessaire est suffisante pour qu'un vecteur appartienne à F est que sa troisième coordonnée dans la nouvelle base U est nulle. Or, dans la question précédente, tu as montré que cette troisième coordonnée est donnée par:

[kaltasus]

C'est bon j'y suis parvenu !!!
pour la 3.2.1, une fois que j'ai montré que la matrice a bien cette forme, et l'égalité avec les transposées, comment en déduire que (a;b;c) valeur propre de transp(A) ?
merci pour ton aide

[mrif]

C'est bon j'y suis parvenu !!!
pour la 3.2.1, une fois que j'ai montré que la matrice a bien cette forme, et l'égalité avec les transposées, comment en déduire que (a;b;c) valeur propre de transp(A) ?
merci pour ton aide

Tu appliques l'égalité au vecteur (0,0,1)

[kaltasus]

C'est à dire (appliquer une égalité à un vecteur ??)?

[mrif]

Chaque membre de l'égalité est une matrice (le produit de 2 matrices est une matrice). Tu calcules l'image du vecteur (0,0,1) par ces 2 membres et tu trouveras:
où

[kaltasus]

Ca fonctionne et je trouve bien ça, mais pourquoi on multiplies par (0,0,1) ? comment on le devine ??

[mrif]

Ca fonctionne et je trouve bien ça, mais pourquoi on multiplies par (0,0,1) ? comment on le devine ??

Tu cherches à calculer et tu disposes de l'égalité: alors une idée mécanique est de se dire est ce que je peux trouver un vecteur v tel que ?

[kaltasus]

Ça marche je vois l'idée, merci beaucoup,
une dernière petite question (tu peux juste me donner une indication si tu veux, je suis prêt à chercher c'est un dm donc je le fais surtout pour réfléchir !!)

à la 3.2.2, j'ai montré a y1 + b y2 + c y3 = lambda (a x1 + b x2 + c x3)
Ensuite comment déduire F stable par f de cette égalité ? merci

[Ben314]

Salut,
Utilise la caractérisation de F vue au 3.1.4

[mrif]

Ça marche je vois l'idée, merci beaucoup,
une dernière petite question (tu peux juste me donner une indication si tu veux, je suis prêt à chercher c'est un dm donc je le fais surtout pour réfléchir !!)

à la 3.2.2, j'ai montré a y1 + b y2 + c y3 = lambda (a x1 + b x2 + c x3)
Ensuite comment déduire F stable par f de cette égalité ? merci

Tu as montré dans une question précédente q'une CNS pour qu'un vecteur appartienne à F est .

Le reste saute aux yeux et si tu ne vois pas je détaillerai.

[kaltasus]

On écrit donc a x1 + b x2 + c x3 = 0 donc a y1 + b y2 + c y3 =0 ?
et ensuite ?

de plus, on a pas de condition sur la stabilité ? c'est toujours vrai ?

[mrif]

On écrit donc a x1 + b x2 + c x3 = 0 donc a y1 + b y2 + c y3 =0 ?
et ensuite ?

de plus, on a pas de condition sur la stabilité ? c'est toujours vrai ?

Soit un élément de F on a
Comme , on en déduit que appartient à F donc appartient à F donc F est stable par f

[kaltasus]

ah d'accord le résultat est aussi vrai pour f(x1,x2,x3) !!!
Ca me semble évident une fois que vous l'écrivez :)

[kaltasus]

Pour déterminer les espaces stables par f à la 4), il faut déterminer le polynome caractéristique, et déterminer les valeurs propres et sous espaces propres ?

[mrif]

ah d'accord le résultat est aussi vrai pour f(x1,x2,x3) !!!
Ca me semble évident une fois que vous l'écrivez

Il y avait une erreur d'inattention que je viens de corriger dans mon dernier message.

[mrif]

Pour déterminer les espaces stables par f à la 4), il faut déterminer le polynome caractéristique, et déterminer les valeurs propres et sous espaces propres ?

Oui
Bon courage

[kaltasus]

Je trouve 2 valeur propre triple, et le sous espace propre associé est vect(1,1,-1) ?
est-ce que c'est ce qui est demandé ?