Récurrence avec somme

[bart22]

Bonjour!
Voici un exercice sur lequel je bloque:

montrer que la somme (1/k²) (commençant de k=1 jusqu'à n) > (3n)/(2n+1) pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2.

Je fais donc un raisonnement par récurrence.
J'ai fait l'initialisation.
Mais le plus dur reste à venir.
Mon hypothèse de récurrence est faite, ce que je dois chercher aussi, il me manque juste par où commencer?

Une indication serait la bienvenue.
Merci.

[Argentoratum]

A partir de l'odre n+1, il faut que tu retombes sur ton hypothèse de récurrence.
Ecris déjà ton équation à l'odre n+1.

[bart22]

Oui, c'est ce que j'ai fais, je l'ai déjà écrit à l'ordre n+1, mais je ne sais pas par où commencer mon raisonnement ensuite.

[bobdu67]

oui j'ai compris ton problème
donc on supose P(n) vraie (ta somme est bien supérieur a 3n/(2n+1)
et maintenant ont vérifie P(n+1)

donc tu écrit ton inéquation somme (n+1) > 3(n+1)/(2(n+1)+1)
et cette équation équivaut à somme (n) > 3n/(2n+3) - 1/(n+1)²

c'est là ou tu fait intervenir ton hypothèse de récurence
en effet tu a somme(n)>3n/(2n+1)

donc la tu n'a plus qu'a montrer que 3n/(2n+1)>3n/(2n+3) - 1/(n+1)²

pour ma part j'ai trouver 1/(n+1)²> -6n/(2n+3)(2n+1) ( inéquation qui est vraie car -6n/... et inférieur à 0)

ainsi tu a montrer que somme(n)>3n/(2n+1)>3n/(2n+3) - 1/(n+1)²

soit somme (n+1) > 3(n+1)/(2(n+1)+1)

ainsi ns avons démontrer par récurence.... CQFD

[bart22]

donc tu écrit ton inéquation somme (n+1) > 3(n+1)/(2(n+1)+1)
et cette équation équivaut à somme (n) > 3n/(2n+3) - 1/(n+1)²

Je ne comprends pas d'où viens le 3n/(2n+3) car moi j'ai plutot (3n+3)/(2n+3)!

De plus je crois que j'ai raison, parce que le prof nous a donné une indication:

(3n)/(2n+1)+(1)/(n+1)²-(3n+3)/(2n+3) = (n²+2n)/[(2n+1)(2n+)(n+1)²]

que j'ai du démontré, et qui me permet de finir plus facilement la récurrence.

[bobdu67]

oui oui oui c'est bien 3n+3 je confirme, tu a tout à fait raisons

[yos]

montrer que la somme (1/k²) (commençant de k=1 jusqu'à n) > (3n)/(2n+1) pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2.

On peut aussi dire que la suite (u_n) définie par est croissante, que et que .