Récurrence et somme

[pluie2]

Bonjour !

J'aimerais avoir un renseignement pour cet exo :

Soit q un réel différent de 1. Démontrer que pour tout n entier naturel, la somme de k=0 à n de kq^k = (1-(n+1)q^n+nq^(n+1))/(1-q²) * q.

J'ai fait l'initialisation ok

Par contre pour l"hérédité :

J'ai donc écrit : je cherche la somme de k=0 à n+1 de kq^k = (q-(n+2)q^(n+2) + (n+1)q^(n+3))/(1-q)² après calcul.

et ensuite je dois donc écrire autrechose pour montrer l'hérédité à savoir somme de k=0 à n+1 de kq^k+... et je ne sais pas quoi justement


Merci de m'expliquer

[pluie2]

en fait j'ai trouvé j'ai ajouté (n+1)q^(n+1) et ça marche

[deltab]

Bonsoir

en fait j'ai trouvé j'ai ajouté (n+1)q^(n+1) et ça marche

Il existe un démonstration directe du résultat en écrivant:
et en remarquant que , la dérivée étant prise bien entendu par rapport à q.







Le calcul de la somme est alors ramené au calcul de dérivée ( vérifier que la formule trouvée reste valable pour q=1)

Remarque: Le dénominateur ne serait -il pas (1-x)² au lieu de 1-x²?

[pluie2]

oui ok pour le dénominateur j'ai fait une erreur. Merci pour votre méthode.