Rayon d'Abel ou angle de Stolz?

[Lostounet]

Bonjour,

Je souhaite justifier la continuité de la somme de la série entière des z^n/n^2 sur le disque fermé D(0;1). J'ai donc pensé au théorème radial d'Abel qui me permet de dire quelque chose sur le bord. Vérifions-en les hypothèses

La série a pour rayon R = 1, on prenons tel que . On a bien que la série des 1/n^2 converge donc le théorème radial d'Abel dit:
Est-ce que cela permet d'affirmer la continuité?

On ne peut rien dire en 1+ pourtant.

J'ai aussi vu sur Wikipedia la phrase surprenante

variable z is supposed to (..) lie within any Stolz angle, that is, a region of the open unit disk where
|1-z| <= M(1-|z|) for some M

comme condition d'existence de la limite

Pourtant cette restriction n'est pas présente dans mon bouquin... Est-elle vérifiée?

[arnaud32]

ta limiten'est que dans une seule direction, celle de zo ca ne permet pas de conculure a la continuite

[Ben314]

Non : le théorème de convergence radiale ne permet en aucun cas d'obtenir la continuité sur le cercle bordant le disque de convergence vu que justement, il te dit qu'il faut tendre vers le bord suivant une courbe non tangente au cercle (voire même uniquement en suivant un rayon du disque dans la version "basique" du théorème en question).

Bref, ce n'est pas du tout l'outil adapté ici où il y a beaucoup plus simple pour conclure...

[Ben314]

Pourtant cette restriction n'est pas présente dans mon bouquin... Est-elle vérifiée?

Ton "bouquin" ne se limiterais-il pas au cas "basique" où tend vers en suivant un rayon du disque ?

Et ton "est-elle vérifiée", je vois vraiment pas de quoi tu parle : le truc sur wiki te dit que f est continu sur un certain domaine qui n'est pas le disque tout entier donc c'est quoi qui devrait être (ou pas) vérifié ?

[Lostounet]

D'accord, je vois bien que c'est pas super utile pour la continuité.

En fait en relisant, comme tu le dis Ben, j'ai l'impression qu'ils s'approchent calmement suivant un rayon... Mais je ne savais pas que selon comment on s'approchait, la limite pouvait ne pas exister (c'est... contre-intuitif pour le débutant que je suis) !

Une des erreurs que je fais c'est que je "pense" qu'il faut sortir un peu du bord et montrer que la limite en 1+ et 1- sont identiques mais c'est absurde. Je ne sais pas avec quoi je confonds. Je suis un peu perdu car c'est plus cohérent dans ma tête. A quoi ça sert le théorème radial d'Abel

Donc je dois montrer que f est continue en chaque point du bord.
Pour cela, je peux prendre (le rayon vaut 1)

limite de f(z) lorsque z tend vers ,... (A suivre)

[Ben314]

Le théorème de convergence radiale, il sert... a des tas de trucs...
Parmis les applications les plus basique, si tu as une série numérique qui converge "mal" (i.e qui ne convergence pas absolument) alors tu ne peut quasiment rien faire.
Sauf que, si tu pose , tu as une série entière de rayon de C.V. R=1 et, à l'intérieur du disque de convergence, tu peut faire "presque" ce que tu veut : dériver terme à terme, intégrer, sommer "par paquets", etc... ce qui peut éventuellement te permettre d'avoir une expression simple de f(z).
Ensuite, le théorème de convergence radiale, il va te dire que, pour trouver la valeur de la somme de départ, il te suffit de calculer la limite de f(x) lorsque x (réel) tend vers 1 (par valeur inférieure).

Sinon, concernant l'exo lui même, la notion de "convergence normale d'une série", ça te dit rien ?

[Lostounet]

Je vois à peu près pour le th. d'Abel... Pourquoi y ai-je pensé ?


Veux-tu que j'utilise quelque part que la convergence normale conserve la continuité ?

[Ben314]

Veux-tu que j'utilise quelque part que la convergence normale conserve la continuité ?

ben... oui...

[Lostounet]

Petite question un peu ridicule...
La convergence normale, c'est la convergence des normes infinies de fn.
Du coup quand on parle de convergence absolue et normale... pourquoi c'est pas la même chose?
C est de dimension 2 finie et on s'en fout c'est quelle norme qu'on utilise pour la convergence?

[Ben314]

- La notion de convergence absolue, ça s'applique à des séries numériques (de réels ou de complexes ou de vecteurs)
- La notion de convergence normale, ça s'applique à des séries de fonctions (d'un espace quelconque dans un e.v.n.)
On peut bien sûr dire que la convergence normale est un "cas particulier" de la notion de convergence absolue : cas particulier dans lequel les "vecteurs" sont des fonctions et où la norme sur ces vecteurs est la norme sup.

Mais a mon avis, en analyse, c'est pas du tout le bon point de vue : si on te parle de "convergence absolue" d'une série de fonction, le sens n'est pas super clair, mais a mon avis, il y a fort à parier que ça signifie que, pour tout x fixé de l'espace de départ, la série numérique est absolument convergente, c'est à dire que la série de fonction est simplement convergente.
Et c'est évidement beaucoup plus faible que la convergence normale de la série en question.

P.S. Et on est évidement pas du tout en "dimension 2" : ce qu'on manipule, c'est des fonctions du disque unité dans C et l'ensemble ce ces fonctions est clairement de dimension infini.

[Lostounet]

Ici, je peux travailler sur (fn) = (z^n/n^2)
Les fn sont continues pour n>0
||fn|| = 1/n^2 Et la série des normes infinies converge vers pi^2/6

La convergence est normale sur le disque fermé? C'est un peu maladroit comme formulation pour une série entière.

Edit: oui tu as raison.. c'est des fonctions

[Ben314]

Ici, je peux travailler sur (fn) = (z^n/n^2)
Les fn sont continues pour n>0
||fn|| = 1/n^2 Et la série des normes infinies prises sur le disque fermé converge vers pi^2/6 (<- ça on s'en fout complètement et vu que c'est 100 fois plus difficile de calculer la valeur de la série que d'uniquement montrer qu'elle converge, je pense que c'est mieux... de s'abstenir...)

La convergence est normale sur le disque fermé ? <- OUI
C'est un peu maladroit comme formulation pour une série entière. <- C'est quoi qui est "maladroit ?
Une série entière, c'est pas un cas particulier de série de fonction ?

[Lostounet]

Merci infiniment Ben !