Serie entiere et Abel

[stella54]

Soit une série numérique convergente, sa somme est notée et les sommes partielles
sont notées ; On note la série entière . La variable est réelle.

1. (a) Montrer que si les coefficients d’une série entière sont bornés alors son rayon de
convergence est au moins 1.

(b) En déduire que le rayon de convergence de est au moins 1.

2. (a) Démonter que pour tout entier naturel , on a

(b) En déduire que pour tout entier naturel N, on a


(c) En déduire que si


(d) En déduire que pour ,


(e) En déduire que



MES REPONSES:
1)a) Soit une série entière.
Supposons qu'il existe un scalaire non nul tel que soit bornée.
Pour tout entier naturel n, et pour tout nombre complexe tel que [, on a:
, avec M un majorant de la suite et , on en déduit la convergence de .

Est bon??? Pourquoi c'est au moins 1??

1)b)
là je voit pas, car je sait pas par quoi est bornée

2)a)
Par récurrence c'est bon
2)b)
Par récurrence c'est bon (par contre pourquoi il veulent en déduire??
2)c)

En faisant tendre N vers l'infini on a:
(car =0)
Est-ce bon?? a t'on le droit d'écrire ça, sachant que on sait pas ce que c'est.

d) et e) je vois pas

[arnaud32]

pour 1a/ tu supposes qu'il existe M tel que pour tout n
si |x|<1 tu as

[arnaud32]

pour 1b/ que peux tu dire de la suite des du fait de la convergence de la serie?

[stella54]

ok, pour le 1)b)

On sait que est convergente, donc la suite est bornée par et le ;
Donc d'apres 1) , le rayon de convergence de f est au moins 1.
c'est bon ça??

[arnaud32]

2a/ il suffit de remarque que

2b/ en partant de 2a/ et en retenachant des deux cotes puis en utilisant

[arnaud32]

ok, pour le 1)b)

On sait que est convergente, donc la suite est bornée par et le ;
Donc d'apres 1) , le rayon de convergence de f est au moins 1.
c'est bon ça??

la convergence de la serie entraine en effet que la suite est bornee, elle tend meme vers 0

[arnaud32]

2c/ en effet on pase a la limite et on utlise la fait que est fini et que pour pour

[khalid92]

1)
(a)
pour la première question :
si les coefficients de de la série sont bornées alors : tel que
donc
et puisque la série numérique est convergente alors la série est convergente et par conséquent le rayon de convergence de la série entière est supérieur ou égal à 1 (voir définition du rayon de convergence).
(b)
la série est convergente donc son terme général tend vers 0 à l'infini
,en effet et en passant à la limite on a le résultat,
de ce fait est bornée on déduit donc de (a) que le rayon de convergence de la série entière f est au moins 1.
2)
(a)

ceci est en fait ce qu'on appelle la transformation d'Abel.
(b) et (c) bof trop facile
(d) n'est pas claire

[stella54]

2b/ en partant de 2a/ et en retenachant des deux cotes puis en utilisant

Je part de 2)a

Je retranche de chaque côté:

On a donc :


Après je voit pas comment faire apparaitre le et l'utilisation de

[arnaud32]

2d/ je pense que ton enonce est inexacte, il doit manque un N en facteur du premier membre de droite

2e/ tu pars de 2d tu fixe eps>0 pour N assez grand tu as le second terme de droite < eps/2 et pour x assez proche de 1 le premier terme

[arnaud32]

Je part de 2)a

Je retranche de chaque côté:

On a donc :


Après je voit pas comment faire apparaitre le et l'utilisation de

ecris alors que
et

[stella54]

2d/ je pense que ton enonce est inexacte, il doit manque un N en facteur du premier membre de droite

2e/ tu pars de 2d tu fixe eps>0 pour N assez grand tu as le second terme de droite < eps/2 et pour x assez proche de 1 le premier terme <eps/2

c'est quoi la correction de l'enoncé du 2)d??

[arnaud32]

tu coupes la somme en deux jusqu'a N et tu utilises l'ineaglite triangulaire

premier terme de droit, et
il existe N>0 tel que
et il existe aussi 0<a<1 tel que pour tout x a<x<1 on a