Rang et matrices

[Zeitblom]

Bonjour,

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est une matrice nxn définie par blocs, de rang r. est de taille rxr et de rang r. est de taille (n-r)x(n-r). Il s'agit de montrer que . Quelqu'un aurait-il une idée ?

[Yahoo [Bot]]

t'ecris ta matrice egale a PJrQ et en ecrivant P et Q par blocs il suffit de faire le produit par blocs. t'obtiens les expressions de A11 A12 A21 A22 en fonction des blocs de P et Q. il reste plus ka verifier ke la relation demandee marche,ce ki s avere etre vrai en effet

[Chimerade]

Bonjour,

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est une matrice nxn définie par blocs, de rang r. est de taille rxr et de rang r. est de taille (n-r)x(n-r). Il s'agit de montrer que . Quelqu'un aurait-il une idée ?

Si la matrice A est de rang r, et que la matrice est elle aussi de rang r, cela implique que la matrice
est elle aussi de rang r, d'une part, que chacune des colonnes numéros r+1 à n de la matrice A est combinaison linéaire des r premières colonnes.

Il existe donc r coefficients tels que :



De même, il existe r coefficients tels que :


Ceci est vrai pour toutes les colonnes de numéros r+1 à r+(n-r) :
Il existe r coefficients tels que :



Soit :

Les n-r égalités ci-dessus peuvent s'écrire en une égalité matricielle :

Les matrices et étant formées respectivement des colonnes 1 à r de A et des colonnes (r+1) à n de A.
Et de manière plus détaillée par blocs :


Comme est de rang r donc inversible on peut multiplier à gauche les deux membres de la première égalité par

Et finalement, en remplaçant par son expression, dans la deuxième égalité matricielle :

qui est la relation demandée.

[Zeitblom]

Magnifique ! Je m'étais aussi lancé dans des histoires de combinaisons linéaires entre colonnes, mais je n'arrivais pas à aller plus loin. Merci beaucoup.